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1、J与质量大小、质量分布、转轴位置有关演示程序： 影响刚体转动惯量的因素 质量离散分布的刚体 质量连续分布的刚体 dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：质量为线分布质量为面分布质量为体分布5.3 定轴转动的转动惯量例题1 求质量为m，长为l的均匀细棒对下面转轴 的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直； (2) 转轴通过棒的一端并和棒垂直。有将代入上式，得：解：(1) 在棒上离轴x处，取一长度元dx（如图所 示），如果棒的质量线密度为，则长度元的质量 为dm=dx，根据转动惯量计算公式：（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时OAldxx例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质 量均为m，
2、试分别求出对通过质心并与环面垂 直的转轴的转动惯量。R例题3 求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘 对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。dm为薄圆环的质量。以 表示圆盘的质量体密度解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取 任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转 动惯量为代入得J与h无关一个质量为m、半径为R的实心圆柱体对其中心 轴的转动惯量也与上述结果相同。例4）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径 为轴的转动惯量。 解：一球绕Z轴旋转，离球 心Z高处切一厚为dz的薄圆 盘。其半径为其体积：其质量：其转动惯量：YXZORrd ZZ（2）薄板的正交轴定理yxzo（1）平行轴定理 d
3、JCJDC常见刚体的转动惯量解解: :受力分析受力分析取任一状态,由转动定律例题1 一长为l,质量为m的匀质细杆竖直放置, 其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动.当其 受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止 开始绕铰链o转动.试计算细杆转到与铅直线呈 角时的角加速度和角速度. P o初始条件为：=0，=0 例题2 一个质量为M，半径为R的定滑轮（当作均 匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边 上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处 摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时 滑轮的角速度。 对物体m，由牛顿第二定律，滑轮和物体的运动学关系为解：对定滑轮M，由转动定律， 对于轴
4、O，有物体下落高度h时的速度这时滑轮转动的角速度以上三式联立，可得物体下落的加速度为圆柱对质心的转动定律：纯滚动条件为 ： 圆柱对质心的转动惯量为：例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水平 外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的 作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所示 。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。lFacbf解：设静摩擦力f的方向如 图所示，则由质心运动方程联立以上四式，解得：由此可见，静摩擦力向前。时，当02fRl例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数
5、)。又 已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度 变化的规律。M+M0M1已知：M0M1= aJ|t=0=0求：（t）=？解： 1）以刚体为研究对象； 2）分析受力矩 3）建立轴的正方向； 4）列方程：JM+M0M1=a解：4）列方程：分离变量：例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢 轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求 ： 1 ）当杆与铅直方向成角时的角加速度： 2 ）当杆过铅直位置时的角速度：3 ) 当杆过铅直位置时，轴作用于杆上的力。已知：m，L 求：，N 解：1 ）以杆为研究对 象 受力： mg，N（不产生 对轴的力矩）建立OXYZ坐标系ZNmgYX OL建立OXYZ坐标系（并以Z轴为转动量的正方向）ZmgYX ON故取正值。沿Z轴正向，L2）=？两边积分：ZmgYX ON2）=？3）求N=？ 轴对杆的力，不影响到杆的转动，但影响质 心的运动，故考虑用质心运动定理来解。ZmgYXONZNmgmgNNYNX3）求N=？写成分量式：CYXON C求N，就得求，即C点的 加速度，现在C点作圆周运动， 可分为切向加速度和法向加速 度但对一点来说，只有一个加 速度。故这时： .实际上正是质心的转动的切向加速度 .实际上正是质心的转动的法向加速度ZNmgYXON C由角量和线量的关系:代入(1)、（2）式中：ZNmgYXON C
