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1、1第三章第三章 周期信号的傅里叶级数表示周期信号的傅里叶级数表示 FOURIER SERIES FOURIER SERIES REPRESENTATION OF REPRESENTATION OF PERIODIC SIGNALSPERIODIC SIGNALS主要内容：主要内容：.周期信号的频域分析周期信号的频域分析.傅里叶级数的性质傅里叶级数的性质.LTI.LTI系统的频域分析系统的频域分析23.0 3.0 引言引言 IntroductionIntroductionv时域分析方法的基础 ： 1)信号在时域的分解 2)LTI系统满足线性、时不变性 v从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足
2、两 个要求： 1)本身简单，以便LTI系统对它的响应简便得到 2)具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号 3本章将找到另一种满足上述要求的基本信号单元-复指数信号 , LTI系统对复指数信号的响应是十分简单。4傅里叶生平傅里叶生平 1768年生于法国 1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函 数级数表示” 1829年狄里赫利第 一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热 的分析理论”5傅里叶的两个最主要的贡献傅里叶的两个最主要的贡献“周期信号都可表示为成谐波关系的正 弦信号的加权和”傅里叶的第一个 主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积 分表示” 傅里叶的第二个主要论点
3、63.2 LTI3.2 LTI系统对复指数信号的响应系统对复指数信号的响应 The Response of LTI Systems to The Response of LTI Systems to Complex ExponentialsComplex Exponentials一个LTI系统对复指数信号的响应也是 同样一个复指数信号，不同的只是在幅度 上的变化，即：7特征函数：如果系统对某一信号的响应只是该信 号乘以一个常数，则称该信号是这个系统 的特征函数。系统对该信号加权的常数称 为系统与特征函数相对应的特征值。 证明：复指数（est、zn）是LTI系统的特征函数。8例例: :对单位冲激
4、响应对单位冲激响应 的的LTILTI系统，其特征函数，系统，其特征函数，相应的特征值是什么相应的特征值是什么? ? 例例: :如果一个如果一个LTILTI系统的单位冲激响应为，系统的单位冲激响应为，找出一个信号，该信号不具有找出一个信号，该信号不具有 的形式，但却是的形式，但却是 该系统的特征函数，且特征值为该系统的特征函数，且特征值为1 1。补充例题：补充例题：9复指数函数 、 是一切LTI系统的 特征函数。同时:分别是LTI系统与复指数信号相对应的特征 值。只有复指数函数才能成为一切LTI系统 的特征函数。例题例题3.13.110只需求出系统的特征值 ,即可求出的输出。例3.1 已知系统的
5、输入输出关系为！时，系统的输出 。，求：分析：复指数输入为LTI系统的特征函数，根据时，系统的输出 ;解：又11不是一个特征函数形式，根据欧拉公式，将其分解为特征函数的线性组合：以上4个特征函数的输出用 步的方法求出，分别为：由叠加原理1213同理：则：14 综上：对于连续时间和离散时间来说，如 果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的 线性组合，那么系统的输出也能够表示成 相同复指数信号的线性组合；并且在输出 表示式中每一个系数可以用输入中相应的 系数 分别与特征函数 或 有关 的系统特征值 或 相乘来求 得。15其中每个信号都是以 为周期的，公共周期为 ，且该集合中所有信号都是各不相同彼此
6、独立的。3.33.3连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示Fourier Series Representation of Continuous-Fourier Series Representation of Continuous- Time Periodic SignalsTime Periodic Signals一 连续时间傅里叶级数 成谐波关系的复指数信号集: 其中每个信号都是以 为周期的，公共周期为 ，且该集合中所有信号都是各不相同彼此独立的。其中每个信号都是以 为周期的，公共周期为 ，且该集合中所有信号都是各不相同彼此独立的。16如果将该信号集中的所有信号
7、如果将该信号集中的所有信号线性组合线性组合起来起来， 它也是以 ?为周期该级数就是傅里叶级数，这表明用傅里叶级数 可以表示连续时间周期信号。即: 连续时间周 期信号可以分解成无数多个谐波分量。 17图形见下页1819二 频谱的概念 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波 分量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数 ）和频率不同。因此，可以用一根线段来表 示某个分量的幅度，线段的位置表示相应的 频率。 一根线段某个分量的幅度线段的位置相应的频率代表代表即：2021因此，当把周期信号表示成傅里叶级数时，因此，当把周期信号表示成傅里叶级数时，22232425傅里叶级数的另一种三角函数形式26四四 连续时间
8、傅里叶级数的系数确定连续时间傅里叶级数的系数确定27在确定上述积分时，只要积分区间是一个周期即可， 对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为：282930解：方法一：直接利用公式进行求解方法二：31解：的幅度和相位图如下图所示：3233五、周期性矩形脉冲信号的频谱（例3.5）Sample Function其频谱系数为：K不等于0其中为抽样函数抽样函数抽样函数的性质:l谱线为离散的（谐波性），在 时取值，脉冲周期越大，谱线间隔 越小，越密；l各点频谱大小与脉宽 成正比，与周期 成反比；l频谱包络线形状：抽样函数，过零点为最大值为l主要能量在第一过零点内，第一个零点坐标为:1. 矩形脉冲频谱分析
9、1）设矩形脉冲的高度不变，脉冲宽度 不变，周期 增大时，具体看频谱如何变化？2. 矩形脉冲谱线随参数的变化为第一个零点，对应为第一个零点，对应为第一个零点，对应2） 设矩形脉冲的高度不变，周期 不变，脉冲宽度 减小时，观察频谱变化情况T1为第一个零点，对应为第一个零点，对应为第一个零点，对应谱线间隔 变小幅度下降频谱包络形状不变，0点频率不变主瓣内包含的谐波分量数增加谱线间隔不变幅度下降频谱的包络改变，0点频率变化主瓣内包含的谐波数量也增加不变不变3）谱线随参数变化的结论：41周期性矩形脉冲信号的频谱特征：周期性矩形脉冲信号的频谱特征： 1. 1. 离散性离散性 2. 2. 谐波性谐波性 3.
10、 3. 收敛性收敛性(1)离散性谱线是离散的而不是连续的，谱线之间 的间隔为 。这种频谱常称为离散频谱。(2)谐波性谱线在频谱轴上的位置是基频 的整数 倍。(3)收敛性各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐 减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减 小4243443.43.4连续时间傅里叶级数的收敛连续时间傅里叶级数的收敛Convergence of the Fourier Convergence of the Fourier seriesseries这一节来研究用傅氏级数表示周期信 号的普遍性问题，即满足什么条件的周期 信号可以表示为傅里叶级数。一 、傅里叶级数是对信号的最佳近似4546
11、结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对 周期信号的最佳近似。 即 是 中的傅里叶级数中截取一部分，当N 越大EN越小，N趋于无穷时，能量误差EN为零。474849这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶 级数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足级数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足 这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周 期信号具有相当的普遍适用性。期信号具有相当的普遍适用性。5051三、吉伯斯（Gibbs）现象满足Dirichlet条件的信号，其傅里叶级 数是如何收敛于 的。特别当 具有间断点时，在
12、间断点附近，如何收敛 于 。52535455 Gibbs现象表明：用有限项傅氏级数表示有 间断点的信号时，在间断点附近会不可避免 的出现振荡和超量。超量的幅度不会随项数 的增加而减少。只是随着项数的增多，振荡 频率变高，向间断点处压缩，而使它所占有 的能量减少。56P P179179作业：作业：9 9月月1313日日3.4 3.24573.53.5连续时间傅里叶级数的性质连续时间傅里叶级数的性质Properties of Continuous-Time Fourier SeriesProperties of Continuous-Time Fourier Series这些性质的学习，有助于对概
13、念的理解与信 号的展开.5859推论：推论：60傅里叶级数的系数没变，但是函数的基波频率 却发生了变化，所以整个傅里叶级数还是变化了。6162六六. .共轭及共轭对称性共轭及共轭对称性七.帕斯瓦尔（Passival ）定理说明：一个周期信号的平均总功率就等于它的全 部谐波分量的平均功率之和v掌握表3.1636465例1：-T1T010 -TT例2：周期性矩形脉冲将其微分后可利用例1表示为（不记直流分量）6610设由时域微分性质有由例1知根据时移和线性特性，有67P180P180作业作业2011.09.152011.09.153.8683.63.6离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间周期信号
14、的傅里叶级数表示Fourier Series Representation of Discrete-Time Fourier Series Representation of Discrete-Time Periodic SignalsPeriodic Signals成谐波关系的复指数信号集可表示为：对离散时间复指数信号若离散时间信号周期为N，则有一.成谐波关系的复指数信号的线性组合，其中易知，成谐波关系的离散时间复指数信号集中，每一个信号都以N为周期，且在该信号集中只有N信号个是互不相同彼此独立的，为什么？69将这N个独立的信号线性组合起来，一定能表 示一个以N为周期的序列。即：离散时间傅里
15、叶级数DFS也称为周期信号 的频谱70补充内容：Sn=a1(1-qn)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q1)二二 傅里叶级数系数的确定傅里叶级数系数的确定71由 两边同乘以 得 显然 仍是以 N 为周期的 72当r的选取范围和 k一样时,只有r=k时因为73显然上式满足 即 也是以N 为 周期的,或者说 中只有 N 个是独立的例题讨论：离散时间傅里叶级数表示式，就是一个N项的有限级数；而连续时间信号的傅里叶级数表示式，是一个无限项的级数。74.三.周期性方波序列的频谱1. 例： 求图示方波的傅里叶系数。解：用傅里叶系数的求解公式求和项数仍然 是周期间隔， 即2N1项整理得，系数由欧拉公式所以显然，离散方波序列的频谱包络具有 的形状。1）当 不变、 时谱线间隔变小1.周期离散信号频谱具有：离散性
