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1、聚焦数学核心概念、思想方法 的课堂教学设计人民教育出版社 章建跃 一、我们面临的现实 课改迅猛推进 亟待解决的问题多多：新课程提倡的理 念难把握；新教材的改革设计难适应； 教学方式、学习方式的变革难跟上；课 程改革与考试评价制度的改革不配套； 等。二、教学层面的问题 课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一 致、贯穿始终的数学思想主线，在学生没有基 本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题 操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不 得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝 贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下”。学 生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学 基础仍很脆弱。 我国数学教学质量滑坡
2、的现象并没有随课改而 得到改观，而是越来越严重了。例1 “平方根”中的不当问题 是近似值，无法在数轴上表示准确。 带根号的数和分数统称实数。 数轴上任意两点之间都有无数个点。 若a|b|，则a2b2。 的整数部分和小数部分分别是m，n， 求mn。三、教师层面的问题分析 对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织 方式把握不准，特别是对中学数学核心概念和 思想方法的体系结构缺乏必要的了解； 对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所 反映的思想方法的理解水平不高； 只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学 措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中 无数； 对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不 能
3、从设计层面给出令人信服的解释，往往只把 问题归咎于教学系统的复杂性； 缺乏有效的发现、分析和解决教学问题的方法 ，往往感到教学问题的存在而不知其所在，或 者发现了问题而找不到原因，甚至发现了问题 及其根源也找不出解决问题的有效方法； 采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机 械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏 根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的 新方法。 四、努力的方向专业化数学学科的专业素养 有较好的数学功底（教好数学的前提是 自己先学好数学），对数学内容所反映 的思想、精神有深入的体会和理解；懂 得哪些数学知识对学生的发展具有根本 的重要性；具有揭示数学知识所蕴含的 科学方法和
4、理性思维过程的能力和“技术 ”；等。 教育学科的专业素养： 一个人的可持续发展，不仅要有扎实的 双基，而且要有积极的生活态度、主动 发展的需求、终身学习的愿望、热情、 能力和坚持性、健康向上的人生观和价 值观。教师在这些方面对学生的影响力 ，就是教师的教育学科专业素养的最重 要指标。 “两个素养”的结合 善于抓住数学的核心概念和思想方法，懂得削 枝强干；对数学知识中蕴含的价值观资源特别 敏感，有挖掘这些资源并用与学生身心发展相 适应的方式表述的能力，使数学知识教学与价 值观影响有机整合；方法多样、有趣味、少而 精；能有效激发学生的学习兴趣，发挥学生学 习的主动性、积极性，使学生有效学习、主动
5、发展，使他们不仅学业成就得到提高，而且发 展均衡。 五、数学课堂教学教什么 构建反映数学内在发展逻辑、符合学生数学认 知规律的中学数学核心概念、思想方法结构体 系，并使核心概念、思想方法在数学课堂中得 到落实，是提高数学课堂教学质量和效益的突 破口，同时也是数学课堂教学改革的抓手。因 为使学生真正领会和把握数学概念的核心，领 悟概念所反映的数学思想方法，学会数学地思 维，才能形成功能强大的数学认知结构，切实 发展数学能力，提高数学素养。 例2 代数的核心概念、思想方法 有系统、有效力地运用数系的加、乘和 指数运算的运算律，去解决各种各样的 代数问题： 各种式（整式、分式、根式等）的运算 用运算
6、律进行“等价变换”； 方程未知数、已知数之间的特定代 数关系；解方程由代数方程式确定 其中的“未知数”的值； 解方程的基本原理：运算律对任何数都 成立（通性），所以对“未知数”也成 立、可用。有系统地用运算律化简所给 的方程，从而确定其中的未知数化 未知为已知。 一元一次方程是基础，其它都设法向它 转化。 许多问题是在引进字母表示数时才水到 渠成地提出来的从处理单个的数到 处理一类问题。 从代数式（符号代表数）、方程（符号 代表未知数）到函数（符号代表变数） 是一个飞跃，这是看问题角度的根本变 化从变化过程中考察规律，函数是 研究变化规律的。 一次函数y=kx+b的变化规律由谁反映 不仅明确x
7、，y的意义，而且明确k，b 的意义变化规律由k，b决定。 其他函数也类似。六、基于概念的核心、思想方法 的教学设计框架1教学设计的基本线索 概念及其解析（概念的核心）； 目标和目标解析； 教学问题诊断（达成目标已有条件和需 要的新条件的分析）； 教学过程设计； 目标检测的设计。 2概念和概念解析 概念：内涵和外延的准确表达； 概念解析：重点是在揭示内涵的基础上 说明概念的核心之所在；对概念在中学 数学中的地位的分析，对内容所反映的 思想方法的明确。在此基础上确定教学 重点。例2 “三线八角”概念的核心定义： “两条直线”被“第三条直线所截”，得到 八个角。 对顶角、内错角、同位角、 同旁内角，
8、都是关于一对角 的位置关系； 关键是：根据结构特征进行分类。例3 一元二次方程 知识：概念（未知数、系数）；解法和 公式通法；判别式解的情况（ 通性）；根与系数的关系通性。 思想方法：等价转化（配方法）；化归 思想：二次化一次（因式分解、开方等 运算）；对方程的根、系数之间关系进 行研究的思想方法论层次。3目标和目标解析 目标是教学目的的具体化，是教学活动每一阶 段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标 准。 目标：用了解及行为动词经历表述目 标；阐明经过教学，学生将有哪些变化，会做 哪些以前不会做的事。 目标解析：解析了解、理解、掌握、经历、体 验、探究等的含义。特别注意对概念所反映的 数学
9、思想方法的解析。例4 “三线八角”的教学目标目标： 识别同位角（课标）。 目标解析： 正确地分析图形的结构特征，从中找到“两 条直线”和“第三条直线”，确定角的关系 （同位角、内错角、同旁内角）。 以“结构特征”为依据，对角进行分类，确定 角的特定关系的思想方法。例5 一元二次方程的解法 目标：掌握一元二次方程的解法。 解析：（1）能用具体的方法，如开方法 、因式分解法、配方法、公式法等解方 程；（2）能用等价转化（如x2=a、(x x1) (xx2)=0等）、化归（通过代数运算 转化方程，化未知为已知）等探究一元 二次方程的解。例6 一元二次方程根的判别式 目标：掌握一元二次方程根的判别式。
10、 解析：对“掌握”的内涵作具体界定。 （1）在用配方法推导求根公式的过程中，理解 判别式的结构和作用； （2）能用判别式判断数字系数的一元二次方程 根的情况； （3）能用判别式判断字母系数的一元二次方程 根的情况； （4）能应用判别式解决其他情境中的问题。例7 根与系数的关系 目标：掌握一元二次方程根与系数的关系。 解析： （1）提出问题的方法根的个数、符号、根 和根之间的关系、根和系数的关系（根由系数 唯一确定、具体关系的探究）、由根作新的方 程（解方程的反问题）、根多项式的因子 ； （2）通过运算所发现的规律代数的基本方 法；等等。教学目标的三层级模型第一层级 主成分：以记忆为主要标志,
11、培养的是以记忆为主的基本能力。 测试：基本事实、方法的记忆水平。 标准：获得的知识量以及掌握的准确性 。第二层级 主成分：以理解为主要标志，培养的是 以理解为主的基本能力； 测试：能否顺利地解决常规性、通用性 问题，包括能否满意地解决综合性问题 ； 标准：运用知识的水平，如正确、敏捷 、灵活、深刻等。第三层级 主成分：以探究为主要标志，培养以评 判为主的基本能力； 测试：能否对解决问题的过程进行反思 ，即检验过程的正确性、合理性及其优 劣； 标准：思维的深刻性、批判性、全面性 、独创性等。4教学问题诊断分析 教师根据自己以往的教学经验，数学内 在的逻辑关系以及思维发展理论，对本 内容在教与学中
12、可能遇到的障碍进行的 预测，并对出现障碍的原因进行分析。 在上述分析的基础上指出教学难点。 例8 “三线八角”中的难点 学生初次接触平面几何关于位置关系、 大小度量的讨论，在思想方法上存在困 难外，对于认识几何问题的一般程序也 存在困难。复杂的图形会使学生感到无 从下手。 教学难点：对图形结构特点的理解并正 确地对角分类；在具体（变式）图形中 正确找出有关的角。 B和BCE可以看成是直线 ， 被 直线 所截得的 角；B和BCD可 以看成是直线 ， 被直线 所截得 的 角。B EA C D例9 一元二次方程中的难点 真正的难点还是在思想方法上：等价转 化（配方法）；化归思想：二次化一次 （因式分
13、解、开方等运算）；对方程的 根、系数之间关系进行研究的思想 如何提出研究的问题；分类讨论思想。 具体操作上：由平方根概念所附带产生 的难点。4教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，根据问题诊断 分析和学习行为分析，分析应当采取哪 些教学支持条件，以帮助学生更有效地 进行数学思维，使他们更好地发现数学 规律。当前，可以适当地侧重于信息技 术的使用，以构建有利于学生建立概念 的“多元联系表示”的教学情境。 5教学过程设计 强调教学过程的内在逻辑线索； 给出学生思考和操作的具体描述；突出核心概 念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法 的领悟过程分析； 以“问题串”方式呈现为主，应当认真思考每一
14、问题的设计意图、师生活动预设，以及需要概 括的概念要点、思想方法，需要进行的技能训 练，需要培养的能力，等； 根据内容特点设计教学过程，如基于问题解决 的设计，讲授式教学设计，自主探究式教学设 计，合作交流式教学设计，等。 例10 “三线八角”的教学过程 问题1 （1）请回顾一下角的概念。（2 ）对顶角、邻补角是怎样形成的？我们 是怎样研究它们的性质的？ 设计意图：强调从结构特征、讨论问题 的思想方法等角度，对已有知识进行复 习回顾，为新知识的学习提供借鉴。 先行组织者：两条直线相交形成四个角 ，它们的关系（性质）已经清楚（特例 是垂直）。接下来可以研究一条直线与 两条直线分别相交，可以得到哪
15、些角， 它们又有什么关系（性质）。 意图：提出问题的方法、研究思路的引 导。 问题2：画出一条直线与两条直线分别相 交的图形。共得到几个角？你知道其中 哪些角的关系？ 设计意图：培养学生画图的习惯；分析 出需要研究的新问题（思维的逻辑性） 。 问题3：我们没有研究过的是哪些角的关 系？如何把这些角分类？ 1 2 设计意图：引导学生学 3 4 习根据一定标准分类的研 5 6 究方法。 7 8 问题4：如图，直线AB，CD被直线EF所 截。1与没有公共定点的 5，6， 7，8的关系可以怎样描述？可分为 几类？ 设计意图：让学生自己描述这些角的结 构特征，并分类。 E B 说明：本问题是本课 A 1的关键，可多给时间， 5 6 教师可在确定分类标准 C 7 8 D 上给
