【数学与应用数学】论文——车灯线光源的优化设计

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1、13 车灯线光源的优化设计车灯线光源的优化设计 摘要摘要：本文从几何角度分析了车灯线光源反射光线的线路,并通过证明,分别得出了经反射后可到达 B、C 点的线光源的长度 和反射点纵坐标的关系，进而量化出 B、C 点的光照度.根据光源的tyCBEE 、功率与光源强度、线光源的长度之间的关系,建立了线光源长度的数学模型，并利用数值计算方法，得出在满足设计规范，线光源功率最小时的线光源长度 =3.33mm.依据反射线的参数方程,利用 Maple 软件描l绘出了反射光在测试屏上近似于椭圆的亮区（见图 5）.并结合实际，从安全性、节能性等方面对本题设计规范的合理性作了分析.关键词：关键词：旋转抛物面；线光

2、源；光强度；光源的功率1 1 问题的提出问题的提出安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,该抛物面的对称轴水平指向正前方,开 口半径 36 毫米,深度 21.6 毫米.现在与对称轴垂直的水平方向,对称放置一定长度的均匀分 布的线光源.现要设计一车灯,设计规范为:在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置一与地面垂 直的测试屏,即与 FA 垂直.在屏上过 A 引出一条与地面平行的直线,在 A 的同侧取 B 和 C 两 点,使得 AC=2AB=2.6 米;并且 C 点的光强度不小于某一额定值,B 点的光强度不小于该额定 值的两倍. 要解决的问题： (1)在设计规范标准下确定线光源的长度,使线光

3、源的功率最小. (2)对(1)中求的的线光源的长度,画出测试屏上反射光的亮区. (3)讨论上述设计规范的合理性.2 2 问题的分析问题的分析车灯的形状为一旋转抛物面，我们可以假设其表面的物质都是均匀的。线光源过焦点 垂直于对称轴与水平面平行。线光源与 A 点构成一个水平平面，记 xoy，B、C 两点在该平 面上。根据光线反射原理可以知道，能够射到直线 BC 上的点光源必存在于 xoy。我们对本 题的讨论就可集中在 xoy 面上进行。对于 xoy 面上反射的光线，应分若干区域进行讨论。 抓住“C 点光强度不小于某一额定值，B 点光强度不小于该额定值的两倍”这一点，建立线 光源长度与抛物面上放射点

4、的关系。3 3 模型假设与符号约定模型假设与符号约定3.1 旋转抛物面的内表面为白体（即抛物面在折射過程中不吸收光能） ；3.2 测试屏底边与地面相平；3.3 光源的功率理解为用电功率；3.4 线光源的位置为 xoy 平面上的线段.hyhx,15：单位长度发光管在单位平面角内发出的光流常数； ：抛物线的焦距；P：B 点的光照度；BE14 ：C 点的光照度；CE：发光能力；：反射光线与水平方向的夹角； ：线光源的半长度.H4 4 模型的建立与求解模型的建立与求解 4.14.1 模型的准备模型的准备 对于第一个问题，我们考虑一个切面抛物线的方程（以抛物线顶点作为坐标原点） ， 设在平面上的抛物线的

5、方程为：xoy（1）pxy22由已知得点（21.6,36）满足以上方程，将该点代入方程解得 p=30.所以以),(yx轴对称的抛物线方程为：oxx, x0,21.6, y=-36,36：602y则车灯头绕轴旋转的抛物面的参数方程为：ox（2）)sin(60),cos(60,602vuzvuyux在抛物线上任取一点,Q)sin(60),cos(60,60(2vuvuuQ 点处的法线向量为:)sin(),cos(,21vuvun15 记向量,则OQOMa nan 22可得与反射线平行的向量,及反射线上的动点,nabQ,(为参数)bwOqOQw由条件知,可设)0 , 0 ,25015(A)1300,

6、25015(B通过的选取可使动点到达点,于是得到光路的关系式为如QBBQm下的方程组:-(3)0)sin()cos(26015)sin()41 (15()sin(601300)cos()cos(26015)cos(60)(41 ( 41()cos(6025015)21 )cos(260154)6015)(41 ( 41(602222222 2vutvuuvuuwvuvutvuuvutuwvutvuuuuwu命题命题:线光源的光线只能经水平抛物线反射到点.CB,由以上可知点光源上任意的一点抛物面上任取的一点，点的坐标分,MQB别为:)0 ,1300,25015(),sin60,cos60,60(

7、),0 ,15(2BvuvuuQtM则向量:,可表示为与MBQMMQvutvuusin60,cos60,15602,0 ,1300,2501515tMB=0 ,1300,25000tQ 点处，抛物线的切线方程的法向量为： zyzyn,302 ,2 ,60根据反射定律,入射光线与反射光线以及法线应在同一平面上，从而得出：共面，利用向量的混合积有:nMBQM以及与,16 =0vuvutvutvuusin60cos60300130025000sin60cos6015602即 ：019500607800024985(sin22tuutvu如点不在面上,则,可得Qxoy0sinvu,6 , 0 , 0,

8、49973900 49971241390022 uuut于是当时,点经不能到达,由对称性知如不在面上,则发出的光0t)0 ,15(tM线不可能到.B 4.24.2 设计规划下的线光源长度计算设计规划下的线光源长度计算下面建立线光源上一点（15，t）经点，反射到 B 点的 t,y 的关系式. yy,602由命题一，光路 M-Q-B 的求解可在 xoy 平面上进行，如下图:222 2151560tyr MQMQrtyy ,15602sin,cos, 22221560yyQF 22tMF记，在,由余弦定理可得：MQFPQB中MFQ 222211 2)cos( tgQFMQtQFMQF(15,0)M(

9、15,t)Q(),602 yy17 从而得到 y,t 的关系式为：（4）1602501513001156015601560241222222 22222222 yy yytyytytyy由（4）解得：4223451498200468000013508100001053000000810000234000018001300)(yyyyyyyyyt（5） 利用（5）式及数值计算方法分析出，有下列 4 种情形可实现光路 M-Q-B: 如下图所示：（1） （2），78. 030, 2 .270ty3630 y3004. 8 , y（3）， （4） ，62.3336y303 .15 t030t78. 0

10、30t在 M 点处取微元，由系数的意义，向全平面（平面角为） ，发射的光量为dtdt2 ，设 B 处对应的微元为，由于的法线于 QB 成的夹角为，且考虑到dtdsds，记QBMQ Bty图 （1）B图(2)yttyB图(4)B图（3）18 222 )1300(6025015yyQBr 利用光学知识，可知对 B 处的照度所作的贡献为：dt(6)dtrdAB)cos(对前面的四种反射区域，利用(6)式可得到有关的积分表达式，例如对于情况（2） （图 2） ，3630 y3004. 8 t如 h 取定且，则此情形对 B 点照度产生的贡献为04. 8h （7）dtrhp 04. 82cos由于被积函数

11、含有 t 和 y，利用（5）式作代换，则有 yt（8） dyyyh rpyt/3622cos其中由在的范围中解出，对情形 1） ，3） ，4）可类似得出yh2 yhh 236,30y的表达式，于是光源在 B 处的照度为ppp321,（9） hppppAB 4321现在把问题 1 中“线光源的功率”理解为光源消耗的电功率 w，显然，由于hw 反映线光源发射光的能力，而电能只有一部分用于发光，因此与一般不成线性关系，w根据物理学上关于物体外表面辐射能力的公式（10）TeR4其中 e 为发射率，式普适常数，T 为温度，如果认为，则有：Tw T4又有，T41则有41 w于是可作以下估计：（其中 ） .

12、（11）hw10现假设 ，可得以下的优化模型2EB19 min h（h 为线光源的半长） .300102 . .hh ts用离散方法进行计算的处下面的最优值表： 取以上 h 的平均值作为优化值得35 610 6322111h故线光源总长度的优化值为33. 33102h用类似方法也对 C 点进行有关计算. 4.34.3 反射光亮区的描绘反射光亮区的描绘 利用（3）式和离散化的方法，对 t，u 设定一系列的离散值，然后由（3）的第一 式解出 w，以使象点落在屏上.则由（3）的 2.3 使可得到抛物面上的截面圆周在屏上的 象内线，从而得出文中的附图.图（5） 4.44.4 设计规范合理性的讨论设计规

13、范合理性的讨论CABF BA 51 41 52 21 53 107h111223F米.米20 C图中 F 和表示汽车的两前灯，从实际情况中提炼得知：F 和间的距离大约为FF .3 米. 从设计规范中我们可知,当线光源长度设定为我们所求长度时,在行车较为合理的视 程距离(FA=2.5 米)处,我们可知,水平方向上的 B 点和 C 点处的亮度之比大约为 ：，而汽车的两前灯间距离大约为 1.3 米.从而由图我们可知,在汽车前 25 米处的水平方向上的点、A 点（即点） 、B 点（即点）和 C 点处，亮度较为均匀，因而CBA对司机在夜间行车有很大的帮助，大大提高了夜间行车的安全性所以，从提高安全性 的

14、角度来讲，该设计是合理的 再而，从节能角度上来讲，在能达到所需照明要求的基础上，节能对汽车也是不可 忽视的功率越小，耗能也越小，对发电机的影响也越小，从而有利于处长发电机的使 用寿命 所以，从节能和延长发电机寿命的角度来看，该设计规范也是合理的5 5 模型的评价模型的评价由于计算线光源长度的积分函数比较复杂，为了便于计算，我们很好地采用了数值计 算方法,这种方法在许多变化比较复杂的领域应用，当然数值计算方法存在一定的误差，但 对于制作灯丝的精确要求，我们认为这样造成的误差是合理的。另外，我们在作反射光线 在测试屏上的亮区时，利用了光线经反射后的参数方程，直接在平面上作方程的曲线，大 大提高了精确度。参考文献参考文献：1 姜启源数学模型M北京：高等教育出版社20002 胡运权,郭耀煌运筹学教程M北京：科学出版社19983 郭卫中空间解析几何M辽宁：辽宁人民出版社19824 母国光光学M北京：人民教育出版社19875 张以谟应用光学M天津：机械工业出版社19906 杨力先进光学制造技术M北京：北京科学出版社2001AbstractAbstract： This article