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1、1组合投资的收益和风险问题摘要本文以历年投资利润率的数学期望作为未来五年的预期投资利润率的度量指标， 以历年风险损失率的数学期望作为未来五年的预期风险损失率的度量指标，建立一定 资金在一段时期的无风险投资获得利润最大单目标线性规划决策模型，和有风险投资 获得利润最大，风险极小化多目标线性规划决策模型并给出模型简化方法最后理 论联系实际，对各项目已经给出的数据，运用 matlab 编程，用历年的投资利润率和风 险损失率的平均值来预测未来五年的投资利润率和风险损失率最后在有借贷、存款 的情况下给出模型并且通过 lingo 线性规划，算出了各种情况下的最佳投资方案和获 得的最大利润关键词：投资利润率
2、，风险损失率，本利21 问题重述某公司现有数额为 20 亿的一笔资金可作为未来 5 年内的投资资金，市场上有 8 个 投资项目（如股票、债券、房地产、）可供公司作投资选择其中项目 1、项目 2 每 年初投资，当年年末回收本利（本金和利润） ；项目 3、项目 4 每年初投资，要到第二 年末才可回收本利；项目 5、项目 6 每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目 7 只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目 8 只能在第三年年初投资，到第 五年末回收本利现在需要解决的问题是： 1、试根据附表 1 中表 1 给出的数据确定 5 年内如何安排投资？使得第五年末所得 利润最大？ 2、8 个项目
3、独立投资的往年数据见附表 2实际还会某些出现项目之间相互影响， 同时对项目 3 和项目 4 投资的往年数据；同时对项目 5 和项目 6 投资的往年数据；同 时对项目 5、项目 6 和项目 8 投资的往年数据见附表 3(注：同时投资项目是指某年年 初投资时同时投资的项目)试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之 间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率 3、未来 5 年的投资计划中，对投资项目 1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若 在项目 1 中投资超过 20000 万，则同时可获得该笔投资金额的 1%的捐赠，用于当年对 各项目的投资；项目 5 的投资额固定，为 500 万，可重复投
4、资；各投资项目的投资上 限见附表 1 中表 4在此情况下，根据问题二预测结果，确定 5 年内如何安排 20 亿的 投资？使得第五年末所得利润最大？ 4、如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？ 5、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司 可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又该如何对 5 年的投资进行决策?2 模型假设2.1 假设存银行投资为第 0 种投资，到期利润率为常量（因银行利息不变） ，风险损0p失率为,其值为 0；0q2.2 假设投资不需要交易费，或者交易费很少，远远少与投资额； 2.3 假设投资各个项目的到期利润率，风险损失率均为数学期望，
5、且在这段时期（5 年） 内都不变； 2.4 假设当用这笔资金投资若干个项目时，总体风险可用各年风险损失总和来衡量； 2.5 假设题目表 3 中给出的一些同时投资项目才有互相影响，其他项目则没有相互影 响，且不同时间投资的项目也没有互相影响； 2.6 项目可以重复投资，且不影响之前的投资； 2.7 假设银行利息小于其他投资的利润率3 模型符合说明：公司第 年初投资项目的资金，；ijxij8.1, 5.1ji：公司第 i 年末投资项目 j 的到期本利，； ijy8.1, 5.1ji：公司第 年初所有可投资的资金，； izi6.1i3：购买项目到期利润率，； jpj8.1j：购买项目风险损失率，；
6、jqj8.1, 5.1ji：项目的投资上限，； juj8.1j：第 年向银行贷款数，； ici5.1i：第 年银行能贷款的最大限额，iwi5.1i4 模型准备41 模型分析 这是一个公司一定资金在一段时期（5 年）内对若干个项目投资决策的问题本模 型要求给该公司设计一种投资方案，确定在这段时期（5 年）内各个时间段（一年）在 各个项目上投入的资金，从而使得这段时期末（第 5 年末）获得预期最高利润，即收 回的本利最多；如果考虑到投资风险，则使预期收益和投资风险达到投资者最满意的 程度 42 数据处理 4.2.1 投资上限 从题目中的表 1、表 4（见附录 1） ，我们可以把表中的上限都化成单位
7、为亿元，这 样处理方便后面的计算分别得到（下表 1、2）： 表 1 各投资项目的投资上限和到期利润率项目12345678预计到期利润率p0.10.110.250.270.450.50.80.55上限（亿元）u63433243注：到期利润率是指对某项目的一次投资中，到期回收利润与本金的比值 表 2 各投资项目的投资上限项目12345678 上限（亿元）u663.5334334.2.2 独立投资的到期利润率 1）为了问题简单化，也一定程度上反映出预测效果，可以把历年的到期利润率的 平均值看成未来五年的预测期利润率，那么对题目中的表 2 中 1986 年到 2005 年历年 来的的数据通过 matl
8、ab 算出他们每年各个项目的到期利润率，仍后求他们平均值（如 下表 3）：项目12345678预计到期利润率p0.15020.14860.35130.26671.31271.07927.60602.6588表 3 2）为了使得预测更加的准确，我们可以对历年的数据描点，通过 1 到 10 次多项4次的拟合，仍后对拟合出来的函数，得到历年拟合到期利润，算出真实数据与拟合数 据的方差，认为方差最小的函数就是项目到期利润率随时间变化函数，仍后通过他算 出未来五年的到期利润率，最后算出他们平均值，认为这就是预测到期利润率，这些 都可以用 matlab 得出（见下表 4）： 项目12345678预计到期利
9、润p0.15890.14570.35070.25901.19171.05996.64152.5208表 4 4.2.3 独立投资的预计风险损失率 因为表中的数据中 1、2、3、4 项目没有负数，我们认为他们都没有风险或者风 险都很小，可以忽略不计而 5、6、7、8 我们可以对出现的负数进行作如同到期利 润率的处理算出他们的预计风险损失率（如下表 5、6）： 1）通过求出各个年份的风险损失率求得的平均值（即数学期望）：项目5678预计风险损失率q0.86430.83815.77591.3993表 5 2）可以对数据的曲线拟合得到预计风险损失率：项目5678预计风险损失率q0.86230.8371
10、5.77541.3343表 6 4.2.4 同时投资的到期利润率（同表 2 处理） 1）通过求出各个年份的到期利润率求得的平均值：同时投资 3、4同时投资 5、6同时投资 5、6、8 项目 3456568预计到期利润p0.46470.43310.60130.67300.69700.75031.4025 表 7 2）可以对数据的曲线拟合得到预计到期利润：同时投资 3、4同时投资 5、6同时投资 5、6、8 项目 3456568预计到期利润p0.46450.43210.60130.67300.69700.75031.4025表 8 4.2.5 同时投资的预计风险损失率（方法同表 3） 1）通过求出
11、各个年份的到期利润率求得的平均值：同时投资 3、4同时投资 5、6同时投资 5、6、8 项目 3456568预计风险损失率q000.86530.84510.87020.85121.40355表 9 2）可以对数据的曲线拟合得到预计到期利润：表 105 模型的建立与求解5.1 无风险投资 在没有风险情况下，给定投资额 20 亿元、各项目的到期利润率和投资上限(见表 1)， 算出第 5 年末的获得的最大利润，建立模型（）为：max865 1j jzy（）781,2,81, 1810,1 3 4 50,1 2 4 5(1),(1 2 3 4 51 2 7 8(1),(2 3 4 5,3 4(1),(
12、3 4 55 6.20,1,2 3 4 5iiijjijjijijjijji ij jiij jxixixuxpijyxpijxpijsti zyizx 、，、）、）、，、）、 通过 lingo 编程（程序见附表 4） ，获得第五年末的最大利润 17.414 亿元 各项目每年的投资额（的行表示年份，列表示项目，没有列出来的都为 0）： xX( 1, 1) 5.154545 X( 1, 2) 3.000000 X( 1, 3) 3.845455 X( 1, 4) 3.000000 X( 1, 5) 3.000000 X( 1, 6) 2.000000 X( 2, 5) 3.000000 X( 2
13、, 6) 2.000000 X( 2, 7) 4.000000 X( 3, 4) 0.6168182 X( 3, 5) 3.000000 X( 3, 6) 2.000000 X( 3, 8) 3.000000 同时投资 3、4同时投资 5、6同时投资 5、6、8项目 3456568预计风险损失率q000.86230.84510.88020.75031.41256X( 4, 2) 0.3500000 X( 4, 3) 4.000000 X( 4, 4) 3.000000 X( 5, 1) 5.521859 X( 5, 2) 3.000000 问题简化：由于每个项目的到期利润率，平均到每年的利润率
14、不同，由高到低为 项目 7、8、6、5、4、3、2、1根据投资常识，我们尽量多的把资金投资到利润率较 高的项目上才能获得更多的利润由此我们会先使利润率高的项目达到上限，从而获 得利润最高这使问题简化我们按照每年一步一步的计算，也可以得到粗略的算出 最高利润 17.413 亿元，偏差不大 5.2 无风险有捐赠的投资 在没有风险情况下，给定投资额 20 亿元、各项目的到期利润率（表 3）和投资上 限（见表 2） ，投资项目 1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目 1 中投资超过 20000 万，则同时可获得该笔投资金额的 1%的捐赠，用于当年对各项目的投资；项目 5 的投资额固定，为 500 万，可重复投资算出第 5 年末的获得的最大利润，建立模型 （）为：max865 1j jzy（）78511,2,0,1 3 4 50,1 2 4 50.05 ,(1),2,1(1.01),2,1(1),1 2 3 4 52 7 8 .(1),2 3 4 5,3 4(1),3 4 55 620,1iiiijjijjiijjijijjijijjijji ixixixr rZxuxpxjxpxjxpijy stxpijxpiji zy 、，、 、，、81, 181,2 3 4 5j jiij jizx
