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1、对于一般的线性方程组解的判定及求法.首先,把方程组(1.2.1)的增广矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵其中主元均不为零,然后写出 对应的阶梯 形方程组(1.2.3)情况1：此时，是矛盾方程，方程组无解。结论情况2：且 r = n.此时，方程组可表示为方程组有唯一解。情况3：且 r n.此时，方程组可表示为方程组有无穷多个解。例1.2.4 设有线性方程组解交换1，3行R1(1)+ R2R1 ( )+ R2R2 (1) R3其通解为这时又分两种情形：例1.2.5 某大学数学系组织全校三年级学生 进行数学建模比赛，比赛以组为单位进行 。在分组过程中发现，若3个人一组，最后 剩余2人，若5人一组，则最后
2、余3人；若7 人一组，最后也余2人。已知全校三年级学 生人数在800到1000之间。问全校三年级学 生有多少人？解 设全校三年级学生人数为 ，按三人一 组可分 组，按5人一组可分 组，按7人 一组可分为 组，这里 中均未记剩 余人员。根据已知条件可得 由此可得一般解为因在此问题中，所涉及的数都是正整数， 故我们只需讨论上述方程组的正整数解。为 此，对解的表达式进行变形：取 这里 可任意取值，则 方程的一般解可改写为我们只需讨论 取非负整数的情况即可。 由已知 即可得 此时 于是全校三年级学生人 数为863或968。Gauss消元法是把增广矩阵化为阶梯形矩阵 ,我们希望:零元素更多, 非零元素尽
3、可能是1.矩阵的初等行变换可把阶梯形矩阵化为更简 单的形式，例如阶梯形矩阵 有如下特点：主元为1并且主元所 在列的其它元素全为零。称这样的阶梯形矩阵为行简化阶梯形矩阵或标准阶梯形矩阵。由此立得其一般解 则其形式为 假设某一四元线性方程组以 为其增广矩阵，增广矩阵阶梯形矩阵阶梯形方程组回代解增广矩阵行简化阶梯形矩阵阶梯形方程组回代解定理 任一矩阵均可通过有限次初等行变换化为行简化阶梯形矩阵。定理1.3.1 矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。定义1.3.1矩阵A用初等行变换化成的阶梯形矩阵中 主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩（A） 或 一、矩阵的秩 例1.3.1
4、 求矩阵 的秩解 因为故 秩 。 例 求下述矩阵的秩解 所以 秩(A) = 4。 性质1.3.1 （1）秩(A)=0 当且仅当 A=0 (2) 秩(3) 初 等 行 变 换 不 改 变 矩 阵 的 秩。定理1.3.2 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位方阵。定义1.3.2 设 A 是 n 阶方阵。若秩(A)=n，则称 A 是满秩方阵；若秩(A)n，则称 A是降秩 方阵单位矩阵是满秩的二、矩阵的初等变换 (3) 把某一列所有元素的 k 倍加到另一列对 应元素上去.(1) 对调两列.(2) 以数乘以一列的所有元素称对矩阵A的下述变换为初等列变换矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换例如定义1.
5、3.3 设 A和 B是两个同类型矩阵。若 A可 通过有限次初等变换化为 B，则称 A相抵于 B，记 为A B。性质1.3.2 矩阵的相抵满足：(1) 自反性：(2) 对称性：(3) 传递性：一种关系如果同时具有自反性, 对称性和传递性,则 称其是等价关系.定理1.3.3 设A是mn矩阵，且秩(A)=r，则 A相抵于下述矩阵 称其为A的相抵标准型。r行（A的相抵标准形是唯一的）例 把下列矩阵用初等变换化为相抵标准型解则B即为A的相抵标准形定义1.3.4 由单位 矩阵经过一次初等变换 得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.三、初等矩阵定理1.3.4 设 是一个 矩阵，对 施行一
6、次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于 在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.性质1.3.3 （1）初等矩阵是满秩方阵且初等 矩阵的乘积也是满秩方阵；(2) 任一初等矩阵 P，均存在初等矩阵 Q， 使 PQ = QP = I。定理1.3.5 满秩方阵可表示成若干初等矩阵 的乘积。证即推论 满秩方阵的乘积也是满秩方阵。定理1.3.7 同型矩阵A与B相抵的充分必要 条件是 秩(A)=秩(B)。 推论 矩阵的初等列变换也不改变矩阵的秩定理1.3.6 设A与B是两个mn矩阵，则A相 抵于B的充分必要条件是：存在m阶满秩矩阵P与n 阶满秩矩阵Q，使PAQ=B。定
7、理1.3.8 （1）秩(A)=秩（2） A是mn 矩阵，P 是m 阶满秩方阵，Q 是n 阶满秩方阵，则秩(A)=秩（PA）=秩（AQ）=秩（PAQ） 例1.3.5 设A是45矩阵且秩(A)=3，求秩(BA), 这里 解 所以秩(B)=4. 由定理1.3.8(2)可知例1.3.6 对任一满秩方阵 P，均存在同阶的满 秩方阵 Q，使 PQ = QP = I。证：设P是n阶满秩方阵，则由定理1.3.5可 知，存在若干个n阶初等矩阵使得又由性质1.3.3（2）可知，存在s个n阶初等矩阵, 使得例1.3.7 设A是n阶非零方阵。则A是降秩矩阵的充分必要条件是：存在n阶非零方阵B，使AB=0。 令 则，PQ=QP=I.据性质1.3.3, Q 也是 n 阶满秩方阵
