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1、 数列求和及数列的综合应用1.等差、等比数列的求和公式（1）等差数列前n项和公式：Sn=na1+ d= （2）等比数列前n项和公式：q=1时，Sn=na1q1时，Sn= .2.数列求和的方法技巧（1）转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、 等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再 合并.（2）错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方 法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项 和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列. （3）倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法， 也就是将一个数列倒过来排列（反序），当它与原
2、 数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求 得，则这样的数列可用倒序相加法求和.（4）裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通 过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和.3.数列的应用题（1）应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背 景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首 先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然 后再用数学运算、数学推理予以解决.（2）数列应用题一般是等比、等差数列问题，其 中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利 润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立 一个数列模型an，利用该数列的通项公式、递
3、推 公式或前n项和公式.一、错位相减法求数列的和例1 已知f（x）=logax（a0且a1）,设f（a1）、f（a2）、f（an）（nN*）是首项为4，公差为 2的等差数列.（1）设a为常数，求证：an成等比数列；（2）若bn=anf（an）,bn的前n项和是Sn，当a= 时，求Sn；（3）令cn=anlgan问是否存在a,使得cn中每一项恒 小于它后面的项，若存在，求出a的范围；若不存 在，说明理由.思维启迪 （1）用定义 =q（n2）为常数.（2）观察bn的通项，有两部分构成，一部分为等 差，一部分为等比，可考虑错位相减.（3）实质上讨论nN+时，cn 1时，即n（n+1）a2 n 对一切
4、n2成立.只需2 ,01.探究提高 第（1）题判定an是等比数列常利用等比数列的定义.第（2）题求Sn前必先求通项an，通过分析an的特点来选择求和方法.在第（3）问解不等式求a的取值范围时，实质上是恒成立问题.变式训练 1（2009潍坊模拟）已知等差数列an和 正项等比数列bn,a1=b1=1，a3+a5+a7=9,a7是b3和b7 的等比中项.（1）求数列an、bn的通项公式；（2）若cn=2an ，求数列cn的前n项和Tn.解 （1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q,由题设知a3+a5+a7=9，3a5=9,a5=3.则d= ,an=a1+（n-1）d = .a7=4.又
5、 =b3b7=16, =b3b7=16,又b50，b5=4,q4= =4，又q0.q= ,bn=b1qn-1= .（2）cn=2an =（n+1）2n-1,Tn=c1+c2+cn=2+32+422+（n+1）2n-1 2Tn=22+322+n2n-1+（n+1）2n -得-Tn=2+2+22+2n-1-（n+1）2n= -（n+1）2n+1=-n2nTn=n2n.二、裂项相消求数列的前n项和例2 等差数列an各项均为正整数，a1=3，前n 项和为Sn，等比数列bn中，b1=1，且b2S2=64， 是公比为64的等比数列.（1）求an与bn；（2）证明： + 0）, 对任意的正整数n,Sn=a1
6、+a2+an且Sn= ，（1）求a的值；（2）试确定数列an是否是等差数列，若是，求出 其通项公式.若不是，说明理由；（3）令pn= ，证明：2n2）,于是an= an-1= a2=（n-1）p，由a1=（1-1）p=0，an是一个以0为首项，p为公差的等差数列.（3）证明p1+p2+pn2n.p1+p2+pn40,3241,3342,3443,35 b2；n=3时，a3=2a,b3= a,有a3 b3；当n4时,an3a，而bnbn ,则 (n-1)a3-2( )n-1a n-16-4( )n-1, 即n7-4（ ）n-1.又当n7时，07-4（ ）n-1.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市
7、的一半，乙超市将被甲超市收购.规律方法总结1.数列求和的方法归纳（1）转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为n个等差数列或等比数列，然后应用公式求和. （2）错位相减法：适用于anbn的前n项和，其中an是等差数列，bn是等比数列.（3）裂项法：求an的前n项和时，若能将an拆分为an=bn-bn+1，则a1+a2+an=b1-bn+1.（4）倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加 时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出， 那么这样的数列求和可采用此法.其主要用于求组合 数数列的和.这里易忽视因式为零的情况.（5）试值猜想法：通过对S1，S2，S3，的计算 进行归纳分析，寻求规律，猜
8、想出Sn，然后用数学归 纳法给出证明.易错点：对于Sn不加证明.（6）并项求和法：先将某些项放在一起先求和， 然后再求Sn.例如对于数列an:a1=1,a2=3,a3= 2,an+2=an+1-an,可证其满足an+6=an，在求和时，依次6 项求和，再求Sn.2.复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列 的定义及其等价形式.注意函数与方程思想、整体思 想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.一、选择题1.若等比数列an的前n项和Sn，且S10=18，S20=24， 则S40等于 （ ）A. B. C. D. 解析 根据分析易知：S10=18，S20-S10=6，S30-S20=2，S40-S3
9、0= ，S40= ，故选A.A2.(2009大连模拟)设Sn为数列an的前n项和,若 不等式 + 对任何等差数列an及任何 正整数n恒成立，则的最大值为 （ ）A.0 B. C. D.1解析 a1=0时，不等式恒成立.当a10时，将an=a1+（n-1）d,Sn=na1+ 代入上式，并化简得： 2+ , ,max= .B3.数列an的通项公式an= ，若an的前n 项和为24，则n为 （ ）A.25 B.576 C.624 D.625解析 an= =-（ ）,前n项和Sn=-(1- )+( - )+( - )= -1=24，故n=624.选C.C4.（2009广东理，4）已知等比数列an满足a
10、n0,n=1,2,且a5a2n-5=22n（n3），则当n1 时，log2a1+log2a3+log2a2n-1= （ ）A.n（2n-1） B.（n+1）2C.n2 D.（n-1）2解析 由题意知an=2n,log2a2n-1=2n-1,log2a1+log2a3+log2a2n-1=1+3+（2n-1）=n2.C5.已知数列an满足a1=0，an+1= （nN*）， 则a20等于 （ ）A.0 B.- C. D.解析 a1=0，an+1= ，a2=- ，a3= ，a4=0，.从而知3为最小正周期， 从而a20=a36+2=a2=- .B二、填空题6.设数列an的前n项和为Sn，Sn= (n
11、 N*)，且a4=54,则a1= .解析 由于Sn= （n N*），则a4=S4-S3= =27a1，且a4=54,则 a1=2.27.设等差数列an的前n项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值为 .解析 设等差数列的首项为a1，公差为d,则S4=4a1+6d10，即2a1+3d5,S5=5a1+10d15，即a1+2d3.又a4=a1+3d,因此求a4的最值可转化为在线性约束条件2a1+3d5,a1+2d3,限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如下图，可知当a4=a1+3d，经过点A（1，1）时有最大值4.答案 48.设等差数列an的前n项和为Sn,若a5=5a3,则= .
12、解析 设等差数列的公差为d,首项为a1,则由a5=5a3知a1=- d, =9.9三、解答题9.（2009济南模拟）已知等比数列an的前n项和 为Sn=k2n+m，k0，且a1=3.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn= ，求数列bn的前n项和Tn.解 （1）方法一 依题意有解得a2=2k,a3=4k,公比为q= =2， = =2,k=3,代入得m=-3,an=32n-1.3=2k+m,3+a2=4k+m,3+a2+a3=8k+m.方法二 n2时，an=Sn-Sn-1=2n-1k.由a1=3得k=3，an=32n-1，又a1=2k+m=3,m=-3.（2）bn= -得 Tn= 10.设函数f（x）= ,数列an满足a1=f（0）, f（an+1）= （nN*）.（1）求数列an的通项公式；（2）令bn= ,Sn=b1+b2+bn,Tn=+ ,试比较Sn与 Tn的大小，并加以证明.解 （1）f（x）= ，a1=f（0）= =1，又f（an+1）= ，an+1=an+2，即an+1-an=2，数列an是首项为1，公差为2的等差数列an=1+（n-1）2=2n-1.（2）bn= 即数列bn是首项为 ，公比为 的等比数列.故比较Sn与 Tn的大小，只需比较 与 的大小即可.即只需比较2n+1与4n的大小，
