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1、 一、两角和与差的三角函数二、二倍角公式(升幂公式) (降次公式)sin()=sincoscossincos()=coscos sinsin- + tan()= tantan 1 tantan - + asin+bcos= a2+b2 sin(+) cos2=cos2-sin2 =2cos2-1 =1-2sin2 sin2=2sincostan2= 2tan 1-tan2 sin2=1-cos2 2 cos2=1+cos2 2 三、半角公式四、万能公式五、其它公式sin3=3sin-4sin3;cos3=4cos3-3cos;sin(60-)sinsin(60+)= sin3; 1 4 cos
2、(60-)coscos(60+)= cos3. 1 4sin =1-cos 2 2cos =1+cos 2 2tan =1-cos 1+cos 2=sin 1+cos=1-cos sin sin= 2tan 21+tan2 2tan= 2tan 21-tan2 2cos= 1-tan2 21+tan2 2公式选择1.从函数的名称考虑 切割化弦(有时也可考虑“弦化切” ), 异名化同名(使函数 的名称尽量统一); 2.从角的特点考虑 异角化同角, 抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关 系等等);3.从变换的需要考虑 达到分解、化简或将条件与结论挂钩等目的; 4.尽量避开讨论 常用技巧与方法 1
3、.变换常数项 将常数变换成三角函数; 2.变角 对命题中的某些角进行分拆，从而使命题中的角尽量统一; 3.升幂或降次运用倍、半角公式进行升幂或降次变换, 从而改变三角函 数式的结构;4.运用代数变换中的常用方法 因式分解、配方、凑项、添项、换元等等.三角函数式化简目标1.项数尽可能少;2.三角函数名称尽可能少;3.角尽可能小和少;4.次数尽可能低;5.分母尽可能不含三角式;6.尽可能不带根号;7.能求出值的求出值.典型例题 1.求 sin220+cos250+sin20cos50 的值. 思维精析 从幂入手, 用降幂公式.解法1 原式= + + (sin70-sin30) 1+cos100 2
4、1-cos40 21 2 = -sin70sin30+ sin70 1 23 4= . 3 4 思维精析 从形入手, 配成完全平方.= . 3 41 2解法2 原式=(sin20+ cos50)2+ cos250 3 41 2=sin(50-30)+ cos502+ cos250 3 4 =(sin50cos30)2+ cos250 3 4 思维精析 从角入手, 化异角为同角.= . 3 4解法3 原式=sin2(50-30)+cos250+sin(50-30)cos50 =(sin50cos30-cos50sin30)2+cos250 +(sin50cos30-cos50sin30)cos5
5、0= (sin250+cos250)3 4思维精析 从式入手, 构造对偶式. 解法4 设 x=sin220+cos250+sin20cos50, = . 3 4思维精析 从三角形入手, 构造图形, 利用正余弦定理. 解法5 设 ABC 外接圆半径为 1, A=20, B=40, y=cos220+sin250+cos20sin50. 则 x+y=2+sin70 , x-y=-cos40+cos100-sin30 . x= (2+sin70-cos40+cos100-sin30) 1 2 = ( +sin70-2sin70sin30) 1 23 2则 C=120. 由正余弦定理知: 原式=sin
6、220+sin240+sin20sin40 =sin220+sin240-2sin20sin40cos120 =sin2120= . 3 4得:2+sin220+cos250+sin20cos50 的值为 . 3 41.求 sin220+cos250+sin20cos50 的值.2.已知 0, cos(+)0.30, tan0, - . 2-2-0. 2-=- .43由 tan(2-)=1 知 注 亦可由 tan1 得 0 .402 . 2-2-0. 7.计算 - +64sin220.sin220 3 cos220 1sin220cos220 3cos220-sin220解: 原式= +64s
7、in220sin220cos220 ( 3cos20+sin20)( 3cos20-sin20)= +64sin220 sin240 16sin80sin40= +64sin220 =32cos40+64sin220 =32(1-2sin220)+64sin220 =32. 8.已知 sin2= (- - ), 函数 f(x)=sin(-x)-sin(+x) +2cos. (1)求 cos 的值; (2)若 f-1(x) 表示 f(x) 在 - , 上的反函数, 试求 f-1(- ) 的值. 3 423 522 10 10 2解: (1)- - , - 2-.3 43 2cos0, cos20
8、. 由已知可得 cos2=- . 4 5 故由 cos2=2cos2-1 得 cos=- . 10 10 (2)f(x)=sin(-x)-sin(+x)+2cos=-2cossinx+2cos =-2cos(sinx-1) = (sinx-1). 105 10 10 由 (sinx-1)=- 得 105 sinx= . 1 222x- , , x= . 66f-1(- )= . 10 10 解法1 sin22+sin2cos-cos2=1, 4sin2cos2+2sincos2=2cos2.1.已知 sin22+sin2cos-cos2=1, (0, ), 求 sin, tan 的值. 2co
9、s2(2sin2+sin-1)=0cos2(2sin-1)(sin+1)=0. (0, ), 2cos20, sin+10. 2sin-1=0. sin= .1 2= .6tan= .3 3 故 sin, tan 的值分别为 和 . 3 31 2 解法2 sin22+sin2cos-cos2=1, sin2cos-cos2=1-sin22=cos22. 2sincos2=2cos2cos2. (0, ), 2cos20. sin=cos2. 即 cos( -)=cos2.2 -(0, ), 2(0, ), 且 y=cosx 在(0, )内是减函数, 2 2 -=2. 2= .6sin= , t
10、an= .1 23 3课后练习解法3 由已知 sin22+sin2cos-cos2-1=0, 可看作关于 sin2 的一元二次方程.解这个一元二次方程得: sin2=-cos cos2+4(1+cos2) 2= . -cos3cos 2(0, ), 2sin2=cos. 即 2sincos=cos.= .6tan= .3 3sin= .1 21.已知 sin22+sin2cos-cos2=1, (0, ), 求 sin, tan 的值. 2故 sin, tan 的值分别为 和 . 3 31 22.已知 cos=- , cos(+)= , 且 (, ), + ( , 2), 求 . 1312 2
11、6 17 2 232323 23解: (, ), + ( , 2), (0, ). 26 7 2 又由已知得 sin=- , sin(+)=- , 135cos=cos(+)- =cos(+)cos+sin(+)sin = (- )+(- )(- ) 1312 135 26 17 2 26 7 2 =- . 2 2 = . 433.已知 tan( +)+tan=a, cot( +)+cot=b, 求证: ab(ab-4)= (a+b)2. 44证: a=cos( +)cos sin( +) 44= , cos( +)cos sin( +2) 44b= . sin( +)sin sin( +2) 444sin( +)sincos( +)cos sin2( +2) 44ab= 2sin( +2)sin2 21-cos( +4) 2cos2sin2 2(1+sin4) sin4 4(1+sin4) = = . ab-4= . sin4 4 sin24 16(1+sin4) ab(ab-4)= . 44又a+b=tan( +)+cot( +)+tan+cot = + 2sin( +2) 2 sin2 2 cos2 2 = + sin2 2 sin4 4(sin2+cos2) = ,
