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1、高三数学总复习三角函数一.幂 函 数 一、幂函数定义：形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量，)(Rxyx是常数。注意：幂函数与指数函数有何不同？【思考提示】本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置观察图：归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下：二、幂函数的性质高三数学总复习三角函数归纳：幂函数在第一象限的性质：，图像过定点（0,0） （1,1） ，在区间（ ）上单调递增。0,0，图像过定点（1,1） ，在区间（ ）上单调递减。,探究：整数 m,n 的奇偶与幂函数 的定义域以及奇偶nmxy),(互 质且 nZ性有什么关系？结果：形如 的幂函数的奇偶
2、性nmxy),(互 质且Z（1）当 m，n 都为奇数时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称；（2）当 m 为奇数 n 为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于 y 轴对称；（3）当 m 为偶数 n 为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.三、幂函数的图像画法：关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。指数大于 1,在第一象限为抛物线型（凹） ；指数等于 1,在第一象限为上升的射线；指数大于 0 小于 1,在第一象限为抛物线型（凸） ；指数等于 0,在第一象限为水平的射线；指数小于 0,在第一象限为双曲线型；四、规律方法总结：1、幂函数 的图像：)1,0(xy2、幂函数 的图
3、像：),(互 质qpZqxy高三数学总复习三角函数3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小二指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次axnxan方根，其中 1，且 *nN负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。0当 是奇数时， ，当 是偶数时，an)0(|an2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： )1,0(*nNmanm ,1*n0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意
4、义3实数指数幂的运算性质（1） ra sr ；),(Rsra（2） s)( ；（3） rb,0高三数学总复习三角函数（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中 x 是自变量，函)1,0(ayx且数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 01 0|cosx|cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxcosxsinx16. 个个个个个个:O Oxyxy高三数学总复习三角函数2k把 的 三 角 函 数 化 为 的 三 角 函 数 ， 概 括 为 ：“奇变偶不变，符号看象限”三角函
5、数的公式：（一）基本关系公式组二 公式组三xkcot)2cot(ananssi)i(xcot)t(ansi)i(公式组四 公式组五 公式组六 xcot)ct(anassi)i(xcot)2t(ansi)i(xcot)t(ansi)i(（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二sincs)cs( csin2ioo 222sin1cosiocs sincsin)si( 2tan1taioii cositan1t)tan(21cstt)t(公式组三 公式组四 公式组五2tan1si2tan1costat2, , , .4675cos1in 42615cos7in 3275cot1tan 3215cot
6、7tan公 式 组 一sinxc=1taxcosini2x+cs=1oeitaeta2coscs21sinocosinsi21sinco2isinosiccsiisinco1sico2tan sin)21cos(s)si(cttasi)2(csinotta高三数学总复习三角函数10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： xAysin（A、 0）定义域 R R R值域 1,1,R R ,周期性 222奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当 非奇非偶,0当 奇函数,单调性2,k上为增函数； 23,k上为减函数（ ）Zk,1k；上为增函数1,上为减函数（ ）Zk2,上为增函数（）Zk上为减
7、函1,k数（ ）Z)(21),(Ak上为增函数； )(23),(Ak上为减函数（）Zk注意： 与 的单调性正好相反； 与 的单调性也同样xysinxysi xycosxycs相反.一般地，若 在 上递增（减） ，则 在 上递减（增）.)(f,ba)(f,ba 与 的周期是 .xysinxcos 或 （ ）的周期 .)()(y02T的周期为 2 （ ，如图，翻折无效）. tay2T 的对称轴方程是 （ ） ，对称中心（ ） ；)sin(xkxZ0,k的对称轴方程是 （ ） ，对称中心（ ） ；coy 21Zkx,21|且 Zkx,|且ycotytanxycosxysinOyx高三数学总复习三角函
8、数的对称中心（ ）.)tan(xy0,2kxycos)s(2cos 原 点 对 称当 ； .ta,1)(Zktan,1)(2Zk 与 是同一函数,而 是偶函数，则xycs2in)(xy)cos()()( xk.函数 在 上为增函数.（） 只能在某个单调区间单调递增 . 若在整个定义域，xytaR为增函数，同样也是错误的.n定义域关于原点对称是 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是)(xf定义域关于原点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数： ，奇函数：)(xf）)(xff奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： 是奇函数， 是非奇非偶.（定xytan31tan(y义域不关于原
9、点对称）奇函数特有性质：若 的定义域，则 一定有 .（ 的定义域，则无此x0)(f0)(fx性质） xysin不是周期函数； 为周期函数（ ） ；ysinT是周期函数（如图） ； 为周期函数（ ） ；coxco的周期为 （如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 21sxy.Rkff),(5)( 有 .abbabay cos)sin(sinco2 y211、三角函数图象的作法：） 、几何法：） 、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线） ，三点二线作图法（正、余切曲线）.） 、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（x ）的振幅|A
10、|，周期 ，频率 ，相位 初相2|T1|2fT;x（即当 x0 时的相位） （当 A0，0 时以上公式可去绝对值符号） ，由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A| 1）或缩短（当0|A| 1）到原来的|A| 倍，得到 yAsinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变 y=cos|x图 象 1/2yx|cos+图 象高三数学总复习三角函数换 （用 y/A 替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0| |1）或缩短（| | 1）到原来的 倍，得到 ysin x 的图象，叫做 周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变|换( 用 x 替换 x)由
11、ysinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位，得到 ysin（x ）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x 替换x)由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动b个单位，得到 ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移 （用 y+(-b)替换 y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin（x ） （A0，0） （xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。4、反三角函数：函数 ysin x， 的反函数叫做 反正弦函数，记作 yarcsin x，它的定义域
12、是2，1，1 ，值域是 ，函数 ycos x， （x 0， ）的反应函数叫做反余弦函数，记作 yarccosx，它的定义域是1，1 ，值域是0， 函数 ytanx， 的反函数叫做反正切函数，记作 yarctan x，它的定义域是2，（，） ，值域是 ，函数 yctgx， x（0， ） 的反函数叫做反余切函数，记作 yarcctg x，它的定义域是（，） ，值域是（0， ） II. 竞赛知识要点一、反三角函数.1. 反三角函数：反正弦函数 是奇函数，故 ，xyarcsinxxarcsin)arcsin(（一定要注明定义域，若 ，没有 与 一一对应，故 无反函数）1,x,xyy注： ， ， .x)
13、sin(arc1,2,arcsin反余弦函数 非奇非偶，但有 ， .yros kx2)arcos()rs(1,x注： ， ， .x)cos(a1,0acox 是偶函数， 非奇非偶，而 ysin和 rsin为奇函数.xrs高三数学总复习三角函数反正切函数： ，定义域 ，值域（ ） ， 是奇函数，xyarctn),(2,xyarctn， .x)arctn(),(注： ， .tx反余切函数： ，定义域 ，值域（ ） ， 是非奇非arcyot),(2,xarcyot偶.， .kxarc2)t()ot(x,注： ， .rc),( 与 互为奇函数， 同理为奇而 与ysin)1arsinyxyarctnxyarcos非奇非偶但满足xaot.1,2)ot(ct,2rc)rc( kxarxk 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：的取值范围 解集 的取值范围 解集a a 的解集 的解集xsin xcos1 1 =1
