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1、44研究性学习课题：复数与平面向量、三角函数的联系第一课时教学目标 1知识目标：理解复数的向量表示和三角 表示，了解复数的开平方2能力目标：培养学生勇于质疑和善于 反思的习惯；培养学生发现、提出、解决数 学问题的能力；培养学生的创新意识和实践 能力3情感、价值观目标：了解数学概念和 结论的产生过程，体验数学研究的过程和创 造的激情，学会与他人交流合作，建立严谨 的科学态度和不怕困难的科学精神以上三个目标是从以下三个方面确定的：根据教材内容及新大纲的教学要求，确 定第一个教学目标由于本节是研究性学习课题，有助于学 生提高发现、提出、解决数学问题的能 力，发挥自己的想象力和创新精神，故此确 定第二
2、教学目标在研究性学习活动中，有助于学生初步 了解数学概念和结论产生的过程，初步理 解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究过 程，体验创造的激情，由此确定第三个教学 目标重点难点分析教学重点：复数的向量表示和三角表示、复数的开平方运算教学难点：复数与二维向量一一对应的实 质和向量 与 的长度r以及 与x 轴的夹角组成的有序实数对(r， )一一对应的实质第一课时 一、导入新课 (教师活动)复习提问，并讲述 (学生活动)思考、回答问题 问题1什么叫复数的代数表示形式? 问题2复数集C和复平面内所有的点所组成的 集合有何对应关系? 问题3在直角坐标系中，平面向量以 如何用坐标表示?通过向量的坐标表示，你
3、 对复数的表示有何想法?讲述我们学习了复数可用代数表示，刚才同学们也想到了复数有可能用向 量表示，本节课我们研究复数的向量表 示设计意图：复习已学知识，为本节课学习做知识铺垫，引导学生提出研究课 题二、新课讲授【确定研究方案】(教师活动)以向量的坐标表示为例，分析 数学中不同事物之间的相互表示一般应遵循 哪些原则?引导学生确定研究方案 (学生活动)确定研究复数向量表示的内容 及方案字幕向量的坐标表示遵循了下列原则： (1)向量 与有序实数对(x，y)存在一一对应关系；(2)平面向量坐标运算的合理性提问我们研究复数的向量表示，要从哪 几个方面去思考、分析?(学生回答) 设计意图：引导学生确定研究
4、复数向量表示的方案【小组研究学习】(教师活动)将全班划分为10个小组，在各 小组内进行引导学生自主探究，巡视 学生探索过程，了解学生的进展情况(学生活动)学生自主探究，合作学习，交 流研究方法和研究成果，各组组内展开讨 论，提出方法并自主探索复数向量表示的运 算方法(详细过程略)【班级讨论研究】 (教师活动)要求各小组简述解决方案以 及解决的思维过程并展示研究结果，总结 学生研究结果 (学生活动)小组代表简述解决方案以及 解决的思维过程投影研究结果。【学生简述、展示研究结果】(略)字幕设复平面内的点Z(a，b)表示复数z=a+bi，连结OZ则：向量 由点Z唯一确定，点Z由向量 唯一确定 就是复
5、数z=a+bi的向量表示复数0用 表示用向量 分别表示复数z1=a+bi,z2=c+di用向量 表示 z=z1+z2用向量表示z=z1z2按向量加法的平行四边形法 则进行按向量减法的三角形法则进 行(注意差向量方向)用向量 的长度(模)r来表示复数 z=a+bi的“绝对值”的大小，称为复数z=a+bi的模，记作l z l或Ia+bi I或r则 用向量 与x轴的夹角(以轴的非负半 轴Ox为始边)表示复数Z=a+bi的方向，则 ，其中的取值范围是【例题示范，学会应用】(教师活动)打出字幕(例题)，分析解题思路，完成解答，并点评(学生活动)思考，与教师一道分析，尝试完成例题解答字幕例1求复数z1=3
6、+4i及的模，并且比较它们的模的大小解：因为53/2，所以l zllz2l字幕例2 向量 表示的复数为3+2i， 将向量 向上平移3个单位长度再向左平移 2个单位长度，得到向量 ，分别写出：(1)向量 对应的复数；(2)点O对应的复 数；(3)向量 对应的复数分析根据复数向量表示的意义及平移知 识，一个复数对应的向量在复平面内平移 ，只要不改变方向和模的长，它们表示同 一个复数；而模长不变、方向与原来相反 ，则对应的复数是原向量对应的复数的相 反数解如图所示，O为原点， 点A的坐标为(3，2)，向 上平移3个单位长度再向 左平移2个单位后，点O 的坐标为(一2，3)点A 的坐标为(1，5)，坐
7、标平移不改变 的方向和模 (1)向量 对应的复数为3十2i； (2)点O对应的复数为-2+3i； (3)向量 对应的复数为-3-2i点评根据复平面内向量平移的不变性，我们可以把起点不在原点的向量移到原 点，使许多问题的求解变得简单字幕例3设z=a+bi(a，bR)满足I I z l-4 l+l z I-4=0，且a1，b-1，画出复数2所对应的 点的集合的图形分析在复平面内要确立一个复数对应的 点的集合，必须找到其实部与虚部的关系， 即转化为实数方程本例是一个非常规的方 程，如果用模的计算进行转化，将要解一个 含绝对值的无理方程，运算量大且是二元方 程，不易得到结论仔细观察已知条件并注 意到复
8、数的模是一个非负数这一性质，我们 可以用整体观点处理求解解因为l l z l-4 l+l z I-4=0，所 以I I z I-4 I=-(l z I-4)又由l z-4 lR，且 根据实数绝对值的性质，知l zl40所以I z I4，以a2+b216，又由a 1，b-1知Z(a，b)构成的集合的图形 如图中阴影部分所示(包括边界)点评在复数问题中，整体观点是常用的解 题技巧，要注意学会这种解题技巧设计意图：通过例题的学习，让学生学 会复数的向量表示，掌握复数问题的一些基 本解题技巧。培养学生转化、数形结合的数 学思想及良好的思维品质【课堂练习】(教师活动)打出字幕(练习题)，要求学生 完成，
9、并请两位同学板演巡视学生解题情 况，对正确的给予肯定，对偏差点拔、指正 。(学生活动)完成练习解答，板演字幕练习题：设zC，满足下列条件的复数z对应的点Z 的集合是什么图形?画出其图(1)z=cos+isin (0 2)；(2)l z l2-4 I z l +30设计意图：加深复数向量表示的理解，沟 通复数与解析几何之间的联系反馈教学 信息，调节课堂教学【分析归纳，小结解法】(教师活动)教师根据反馈的信息，点评练 习题解题思路，小结解题方法(学生活动)学生听教师讲评，领悟解题思想方法，并记录笔记练习题答案(1)解法1 因为 所以点z的集合是以原点为圆心，以1为半经的圆解法2 设z=x+yi(z
10、，yR)，则 x+yi=cos+isin 根据两个复数相等的 充要条件，得 (0 2)消去参 数得：x2+y2=1所以点Z的集合是以原点 为圆心，以1为半径的圆(2) l z l2-4 I z l+30，(l z I-3)(I z I-1)0， ll z l3所以点Z的集合是以 原点为圆心，1为内半径，3为外半径的圆 环，包括圆环的边界，图(略)字幕小结1在复平面内求的点集合表示的图形 ，一般有两个途径：(1)设z=z+yi(z，yR)，根据已知条 件求出z，y满足的方程，注意运算过程 中化简的等价性；(2)充分考虑复数的整体性，直接探求 动点所对应的复数z具有的特征和满足的 方程三、小结(教
11、师活动)教师总结本节课所学的知识要点(学生活动)学生回忆，与教师一道归纳，并 记录笔记字蒂1本节课学习了把复数用复平面内 的向量表示和复数的模2本节课渗透的数学思想方法有：转化 、数形结合等数学思想方法；渗透的解题技 巧有：整体、化归等观点设计意图：培养学生归纳、总结问题的能 力，加深对已学知识的理解，便于学生课 后复习四、布置作业已知集合A=z l z=x+yi，x，yR， 且y一2，B=z l zC且2l z I4 求复平面内A B表示的图形面积设计意图：供学生思考复数与平面几何、平面解析几何之间的联系作业答案不难求出A B表示的图形如图所示的阴 影部分，包括边界，其中大圆面积S1=16
12、，小圆面积S2=4 再求弓形ABC的面积，在RtOCD中， l OD l=2，l OC I=4，则I CD I = ， DOC= /3所以弓形ABC的面积S3=S扇形ABCSABC=16/3 所以A B表示的图形面积为 S1一S2一S3=20 /3+ 优游注册 http:/ 优游注册 lqu35hmo 台源源不断地编写和组织人马排练推出一些倍受乡民们喜爱的家乡戏曲节目。上了年纪的耿老爹夫妇俩，经常一起去小学堂的大院儿里听小学童 们朗朗的读书声，看着他们在院子里高兴地做游戏玩耍。在春、夏、秋季节里，他们还喜欢去家门前不远处的水田边上看那一大片一大片绿油油 ，亦忽黄澄澄的稻田。每当“三六九镇”大戏
13、台上灯火辉煌，乡民们愉快地排练土戏的时候，耿老爹总会拿上那把老二胡坐在乐器班子里边兴致 勃勃地拉呀拉的。大家都说：“耿老先生的二胡拉得越来越神了！”有的时候，郭氏也会拉一把小板凳儿坐在一旁，张着没牙的嘴巴乐呵呵地看 着大家排练。时间在不经意间快乐地流失着郭氏八十二岁那年中秋的次日，这位身体一直不错的老人在安然的午睡中无疾而终了。耿老爹让 儿女们将与自己同甘苦共患难一生的老伴儿埋葬在了东山上最高处的一块儿坡地上。虽说耿家的祖坟也在东山上，但那个地方位置较低，视野不 是很开阔。耿老爹考虑再三，决定另择一块儿自己更喜欢的坟地。事实上，早在老伴儿过世之前的前两年，虽然年事已高，但身体还相当硬朗的 耿老
14、爹就亲自带着两个儿子选择好了一块儿非常满意的坟地。当时，他站在那块儿坡地上对儿子们说：“这个地方最好啦！你们看，前面不远处 就是你们的爷爷和奶奶，俺可以站在后面永远守护他们。还有哇，这里的地势高，不挡眼。不是说站得高，望得远嘛！这以后哇，俺和你们 的娘就可以永远观望咱们的三六九镇，咱们的学堂、戏台，还有那些个稻田了！俺俩可以在这里远远地望着我们的儿孙们，望着咱们镇子上 一代又一代的人”简单操办完了老伴儿的后事之后，耿老爹就不再是只在自家的老宅院里与耿兰和尚武共进一日三餐了。他有的时候会在溜 达到小学堂听小学童们读书，看他们在院子里做游戏玩耍的时候，顺便在耿正和秀儿那里吃了午饭。有的时候，又会在
15、门前的水田边看上半天稻 田之后，转悠到耿英和大壮那儿，和他们一起吃午饭。董家成夫妇俩已经先后去世了，午饭是大壮和耿英做的。当然，在小学堂里流连的时候， 他也许会在小学堂放学后，随同耿直和王巧妞儿一起回家，吃王巧妞儿做的家乡饭。巧妞儿真得很巧呢，她做得各种家乡饭菜很对耿老爹的口味 儿。这个时候，耿正兄弟姐妹四人各家的儿女们成家以后都各自修建宅院另立门户生活去了。大家除了安心在学堂教书做事之外，家庭生活倒也 非常规律清静和安逸。只是耿老爹一开始随意在各家吃午饭的时候，曾经让耿兰和尚武很不适应。爹倘若是去大哥大嫂和二哥二嫂家去吃午饭的 时候倒还好说，大嫂和二嫂会在学堂放学时告诉耿兰或尚武一声，这样，他们在吃饭前就不必到处去寻找爹了。可爹要是溜达去了姐姐家的话， 这是连同
