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1、Ch 1.2.2 效用函数 版权所有：夏纪军 2004保留所有权利 上海财经大学 经济学院数学基础：函数n连续性u函数2数学基础：函数n连续性（Cauchy）u 3数学基础：函数n象与原象（inverse image）u n连续性与原象4数学基础：函数n定理A1.7：连续函数在紧集上的象（ image) 是紧集5数学基础：函数n极值存在性定理u 6数学基础：多变量函数的微分梯度(gradient)：一阶微分：二阶微分：（海赛矩阵）7数学基础：矩阵n定义：u NN矩阵M，如果 都有那么，称M是半负定矩阵；如果不等号严格成立，那么称M为负定矩阵。8数学基础：拟凹函数9数学基础：拟凹函数证明：充分性
2、定理 f(x)是拟凹函数10数学基础：拟凹函数必要性：S(y)是凸集11数学基础：拟凹函数12数学基础：拟凹函数n定理：连续可微函数 f （1）（2）131.2.2 效用函数n定义1.5：u实值函数 是表示偏 好关系 的效用函数，如果u存在性u唯一性141.2.2.1 效用函数存在性n n定理定理1.1 (1.1 (P14)P14)u定义在 的偏好关系满足连续性 和严格单调性，那么就存在一个 连续的实值函数 表 示 。151.2.2.1 效用函数存在性n定理1.1证明思路u先构造一个实值函数u然后证明它满足效用函数的条件16I、效用函数的构造0连续性是非空闭集17I、效用函数的构造严格单调性
3、那么都有如果 那么都有如果完备性 （A是有下界闭集）（B是有界闭集）18I、效用函数的构造而且 是唯一的。因为： 假设（严格单调性）（传递性）存在唯一的 使得19I、效用函数的构造020II、 是效用函数由式得到（传递性）（严格单调性）u(x)是表示偏好关系 效用函数21III、 是连续函数效用函数u(x)在开区间(a,b)上的逆央射(原象)（定义）（单调性）（传递性）是开集（因为的补集是闭集）22III、 是连续函数定理A1.6：（P429 ）连续是开集，在任意开集的逆央射 在是开集 连续231.2.2.2 效用函数的唯一性n设 表示的是偏好关系 的结构 。u u u 241.2.2.2 效
4、用函数的唯一性n正单调变化其中在 的取值范围上是严格递增函数。251.2.2.2 效用函数的唯一性n定理1.2：效用函数对正单调不欢的 不变性u实值函数u(x)能够表示偏好关系 ，那么，当且仅当v(x)是u(x)的正 单调变换,v(x)也能够表示该偏好关 系。26n效用函数与无差异曲线无差异集：1.2.2.3 效用函数的性质27n上等值集(Superior Set)【严格上等值集】1.2.2.3 效用函数的性质281.2.2.3 效用函数的性质n 严格递增严格单调291.2.2.3 效用函数的性质n 拟凹具有凸性严格拟凹具有严格凸性n 301.2.2.3 效用函数的性质n 可导性u无差异曲线光
5、滑（smooth）n边际效用（偏好单调性）（偏好严格单调性）【几乎处处成立】311.2.2.3 效用函数的性质n 几乎处处成立321.2.2.3 效用函数的性质是凹函数n 拟凹 边际效用递减331.2.2.3 效用函数性质n海塞矩阵 满足拟凹341.2.2.4 效用函数实例2X1 X12X0 X0位似偏好(homothetic preference)351.2.2.4 效用函数实例n位似偏好效用函数u如果 是位似偏好，那么就可以用一 个一次齐次效用函数来表示。位似偏好：证明：361.2.2.4 效用函数实例n位似偏好效用函数u如果 是位似偏好，那么就可以用一 个一次齐次函数的正单调变换来表示 。371.2.2.4 效用函数实例n拟线性偏好(quasilinear preference)u偏好关系 是相对于商品1的拟 线性偏好，如果其中381.2.2 效用函数实例n拟线性偏好效用函数391.2.2 效用函数实例nCES效用函数40作业2：n1.12、1.13、1.14、1.1541
