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1、用心 爱心 专心1对一道竞赛题的深入探究对一道竞赛题的深入探究A A deepdeep researchresearch onon a a CompetitionCompetition ProblemProblem1. 原题及参考解答1.1 题目（第 22 届全国中学生物理竞赛复赛题）两辆汽车A与B，在0t 时从十字路口O处分别以速度Av和Bv沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图 1 所示。汽车A持续地以固定的频率0鸣笛，求在任意时刻t汽车B的司机所检测到的笛声频率。已知声速为u，且当然有Au v、Bv。1.2 参考解答如图 2 所示，t时刻汽车B位于 B t处，距O点的距离为Btv。此时传
2、播到汽车B的笛声不是t时刻而是较早时刻1t由A车发出的。汽车A发出此笛声时位于 1A t处，距O点的距离为1Atv。此笛声由发出点到接收点（t时刻B车所在点）所传播的路程为1u tt，由几何关系可知222 11BAttu ttvv。(1)即 2222222 1120AButu ttutvv。这是以1t为变量的一元二次方程，其解为 tuuutABABA 222222221)(vvvvv。由于222 Auuv，且1tt，所以上式中只能取减号。即222222122ABABAuu ttu vvv vv。(2)OA AvBBv 1图1( )A tBvO( )A tAv B t 1A t2图( )B t用
3、心 爱心 专心2所以222222122ABABAAu tttu vvv vvv。(3)令22222 ABABukvvv v。(4)有2122 Aukttuv， 2122AAktttuv v。 (5)在1t时刻，位于 1A t处的汽车A发出的笛声沿直线（即波线） 1A tB t在t时刻传到 B t处，以 1A t、 B t分别表示车速与笛声传播方向的夹角，有 121 2 1cosAA A t Aukt u ttu kvv v。(6) 222 1cosBAB B t Aut u ttu kvvv v。(7)令表示B车司机接收到的笛声的频率，由多普勒效应可知 10coscosBB tAA tuuvv
4、。(8)由（6） 、 （7） 、 （8）式，得2022Auk uv，其中22222 ABABkuvvv v。（9）2.创造性解答及讨论2.1 创造性解答如图 3 所示，取另一辆从坐标原点O出发以速度0v匀速运动的汽车C为参照系。当汽车A在0A点时，汽车C在0C点，而当汽车A行驶到 A t点时，汽车C行驶到 C t点，并收到汽车A在0A点发出的笛声。设为0v与x轴正方向之间的夹角，为 A t C t与x轴正方向之间的夹角，为选汽车C为参照系时，笛声速度u与汽车C运动方向之间的夹角，为u与u之间的夹0A A t0C C tEOu0v90Av9090uyx3图用心 爱心 专心3角，如图 3 所示。易
5、知u与00A C及 A t C t平行。由绝对相对牵连vvv得：0u = u+v ；（不妨取0Avv）则汽车C的司机所接收到的笛声频率为u，下面分别计算u与。为计算所需，先做一些准备工作。由图 3 可知，所以02222 00000sinsinsinsin 2cos2cosAAAAAAtt vvvvv vvvv v，由22sincos1得：022 00coscoscos 2cosAAA vvvvv v；0022 00sinsinsin 2cosAAAuu vvvvvv v，2222222 00022 002cossin cos 2cosAAAAAuuu vvv vv vvvv v；2 22 22
6、 222 22 00002 422222 00002coscoscoscos 180 22cos2cosAAAAAAAAAAAtttttt v+vvv vvv vvvvvv vvvvv v。参照图 3 有：22222222 00000022 002cossincos coscos 2cosAAAAAAuu uu vvv vv vvv v v vvv v；关于参照图 4 有： cossin 90Auv2222222 00022 002cossin cos 2cosAAAAAAuuu vvv vv v v vvv v22222222 0000220002cossincos12cosAAAAAAAu
7、u vvv vv vv vvvvv v；所以 22222222 00000022222222 00002cossincos2cossincosAAAAAAAAAuuuuu vvv vv vvv vvvv vv vv vv。（10）Auv904图用心 爱心 专心4当90 ，0Bvv时，上式化为：202BAk kv v，其中22222 ABABkuvvv v。应当指出以上结果与参考解答的结果（9）式是相等的，因为（9）式 222222222222220000222222222AAABABABAAAAAAukku kuuukkuk ukukukvvvvv vvv vvvvvv。2.2 讨论取18m/
8、sAv，020m/sv，340m/su 则（10）式化为：2028369440083232000cos129600sin400360cos 8369440083232000cos129600sin360cos324 ；取-,用 Mathematica 软件作图如图 5 所示：分析：从图 5 可以看出，在-,范围内，0 随变化的图像关于0对称。当,0 时，汽车C的司机所接收到的笛声频率随的增大而增大，而当0,时，汽车C的司机所接收到的笛声频率随的增大而减小。综而言之，汽车C的速度0v与x轴正方向之间的夹角的绝对值越大，其司机所接收到的笛声频率越小。-3-2-11230.90.920.940.96
9、0.981/rad0 图5用心 爱心 专心53.拓展现将创造性解答中的从坐标原点O出发以速度0v匀速运动的汽车C拓展为以速度t=va匀加速运动 (如图 6 所示)。考虑到此时22atSt=tv，而汽车C以速度0v匀速运动时0St v；故可令Sbt，其中2atb （设时间t已足够大，使得Ab v） 。则只需将（10）式中的0v改为2atb 。所以当汽车C以速度t=va匀加速运动时，其司机接收到的笛声频率：222 222 2222 20 222 222 22221111cossincos4442111cossincos442AAAAAAAAAua tuata ta tatuua tuata tat
10、 vvvvvvvvv。（11）讨论讨论：取18m/sAv， 340m/su ，21m/sa ，45，则（11）式化为：220213745440028859.51040400 24.5 243745440028859.51040400 24.5 2324ttttuttt ；取0,1000t用0A A t0C C tO90Av90yx6图Eu0v90u2004006008001000-0.4-0.20.20.40.60.810 t 0t7图用心 爱心 专心6Mathematica 软件作图如图 7 所示。同时利用 Mathematica 软件可以求得：0680st 时，00 。分析：分析：从图 7 可以看出，当45时，0 随t变化的图像先增加后一直递减，至0680st 时，00 。即汽车C的司机所接收到的笛声频率先增加，后一直减小，至0680st 时，0。究其原因，汽车C的速度不断增加，至一定值时，声速无法追及。参考文献：1田阳阳，叶清，李明跃.一道竞赛题的四种解法探讨.物理教师，2009（1）：58
