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1、数学系 李继根（）第三章 特殊变换及其矩阵数学系 李继根（）1、正规变换与正规矩阵正规变换（正规矩阵）可以说是对称变换 （对称矩阵）、正交变换（正交矩阵）等 的推广和抽象，即只关心永恒的主题-“ 对角化”的问题。这又一次体现出现代数 学高度的抽象和统一。链接：现代数学的特点与意义，孙小礼、杜珣， 工科数学，1992年第2期数学系 李继根（）一、正规变换(Normal Transformation)定义定义1 1 酉空间 上的线性变换 称为 上的一个正规变换正规变换，如果存在 的标准正交基及对角矩阵 满足并称 在标准正交基下的矩阵表示为正规矩阵正规矩阵。数学系 李继根（）定义定义2 2 对于复方
2、阵（或实方阵） ，如果存在酉矩阵 或正交矩阵 ，使得或则称 酉相似（酉相似（或正交相似或正交相似）于）于 。数学系 李继根（）显然过渡矩阵 是酉矩阵。定理定理1 1 正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是酉相似的。证明：设正规变换 在 的两组标准正交基和 下的矩阵表示分别为 ，并设数学系 李继根（）因为 所以 ，结论成立。根据定理1，正规变换在任一标准正交基下的矩阵表示必定酉相似于对角阵。数学系 李继根（）二、正规矩阵的等价定义定理定理 2 2 ( Schur 引理 ) 任何方阵 必酉相似于一个上三角阵 。即存在酉矩阵 ，使100年前(1909年)给出的Schur 引理是矩阵理论中的重要定理，
3、是很多其他重要结论的基础。在矩阵计算中也具有相当重要的地位。并称 为方阵 的SchurSchur分解分解。数学系 李继根（）根据Schur引理，可以推出正规矩阵的一个相当美妙 的性质，此性质经常被当作正规矩阵的等价定义。定理定理 3 3 方阵 是正规的，当且仅当为证明这个结论，再给出一个引理。引理引理 1 1 满足 的三角阵 必是对角阵。数学系 李继根（）证明对上三角阵 ，比较等式两边乘积矩阵在第 行第 列位置上的元素 ，并注意到 ，因此对 ，有当 时，有 可知对 施行归纳法，可得 ，证毕。数学系 李继根（）定 理 3 的 证 明必要性必要性。如果 是正规矩阵，那么存在酉矩阵 及对角阵 ，使得
4、因此充分性充分性。根据Schur引理，存在酉矩阵 及上三角阵 ，使得显然 当且仅当 。 根据引理1， 是对角矩阵。故 是正规阵。数学系 李继根（）例 1 判断下列矩阵是不是正规矩阵：（1）实对称矩阵（ ）；（2）实反对称矩阵（ ）；（3）正交矩阵 （ ）；（4）酉矩阵（ ）；（5）Hermite 矩阵（ ）；（6）反Hermite 矩阵（ ）；（7）形如 的矩阵。数学系 李继根（）定理定理 3 3 方阵 是正规的，当且仅当 与对角矩阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特征值。证明证明：必要性：必要性。如果 是正规矩阵，那么存在酉矩阵 及对角阵 使得 ，即因此充分性充分性。若有 ，显然可
5、验证数学系 李继根（）定理定理 4 4 方阵 是正规的，当且仅当 有 个两两正交的单位特征向量。证明证明：必要性：必要性。如果 是正规矩阵，那么存在酉矩阵 及对角阵 使得 ，即因此充分性充分性。若 有 个两两正交的单位特征向量 ，取 即可。数学系 李继根（）思考：1、实正规矩阵是否正交相似于实 对角矩阵？ 2、实正规矩阵是否正交相似于复 对角矩阵？3、实正规矩阵正交相似于什么 样的“简单”矩阵？数学系 李继根（）2、Hermite变换及Hermite矩阵单从变换的角度我们很难把Hermite变换 （对称变换）与正规变换联系起来，但从 Hermite矩阵（对称矩阵）的定义，或者 从Hermite
6、矩阵（对称矩阵） 都可对角化 上却能找到两者的关联，这似乎可以作为 数学的“奇异美”的一个例证。数学系 李继根（）一、 Hermite变换（对称变换）定义定义1 1 设 是酉空间（或欧氏空间） 上的线 性变换，称 为 上的 HermiteHermite 变换（变换（对称变换对称变换） ，如果对任意 ， 都有并称 在 的任意一组标准正交基下的矩阵表示为HermiteHermite 矩阵矩阵（对称矩阵对称矩阵）。）。数学系 李继根（）定理定理 1 1 酉空间（或欧氏空间） 上的线性变换是 HermiteHermite 变换（变换（对称变换对称变换）的充要条件是 在 的任意一组标准正交基下的矩阵 满
7、足数学系 李继根（）证明证明： 必要性。必要性。 设 在 的一组标准正交基 下的矩阵表示为 ，则所以从而数学系 李继根（）任取 ，设则证明证明： 充分性。充分性。 设 在 的一组标准正交基 下的矩阵表示为 且 。数学系 李继根（）例 1 (方阵的Cartesian分解)任意方阵 可分解为其中 都是Hermite矩阵。数学系 李继根（）例 2 (正交投影变换)酉空间或欧氏空间 中的任意向量 在 的子空间 上的正交投影为 ，即有则沿沿 到到 的正交投影变换的正交投影变换既是HermiteHermite变换变换，也是幂等变换幂等变换( )( )。数学系 李继根（）证明证明：对任意 ，同样有因此另外显
8、然有这说明正交投影变换的矩阵表示 （称为正交投影 矩阵）既是Hermite 矩阵也是幂等矩阵( )数学系 李继根（）例 3 (斜投影变换)酉空间或欧氏空间 中的任意向量 有直和分解则沿沿 到到 的斜投影变换的斜投影变换是幂等变换幂等变换( )( )。数学系 李继根（）定义定义2 2 设 是酉空间（或欧氏空间） 上的线 性变换，称 为 上的 反反HermiteHermite 变换（或变换（或反对称反对称变换变换），如果对任意 ， 都有并称 在 的任意一组标准正交基下的矩阵表示为反反HermiteHermite 矩阵矩阵（反对称矩阵反对称矩阵）。）。数学系 李继根（）定理定理 2 2 酉空间（或欧
9、氏空间） 上的线性变 换 是 反反HermiteHermite 变换（或变换（或反对称变换反对称变换）的充要条件是 在 的任意一组标准正交基下的矩阵满足数学系 李继根（）例 3 (Cayley变换)方阵 是反对称实矩阵，那么 是非奇异的，并且Cayley变换矩阵是正交矩阵。数学系 李继根（）证明证明：因为 ，所以对任意的 ， 有因此 。对于由于 ，从而方程组只有零解，所以 是非奇异的。由于所以从而可推出数学系 李继根（）例 4 (广义特征值问题的Cayley变换)对于广义特征值问题广义特征值问题 ，如果 是所谓极点（极点（pole),pole), 是我们已经计算出的特征值的近似值,即所谓零点（零点（zerozero），），那么经过Cayley变换可得到标准特征值问题标准特征值问题 并且数学系 李继根（）二、 Hermite矩阵及对称矩阵的性质定理定理3 3 正规矩阵 是 HermiteHermite矩阵(反Hermite矩阵)的充要条件是 的特征值全是实数(纯虚数)，即 酉相似于实对角矩阵(对角元是纯虚数的对角矩阵)。数学系 李继根（）证明证明： 充分性。充分性。 因为 是正规矩阵，所以存在酉矩阵 及对角阵 ，使得由于 的特征值全是实数，所以数学系 李继根（jg
