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1、若偏微分方程复杂或边界条件不规则时，则方程难以 求得解析解，不得不求满足近似程度要求的近似解。变分法是常用的近似方法之一，而且，变分法的原 理和应用遍及物理学的各个领域。所谓变分法即为泛函的极值问题。前述各章讨论的数理方程的解均为解析解第八章 变分法本章将从数学在物理学中应用的角度，来讨论变分法 的基本概念、原理，以及用来求解当选理方程的思路泛函分析是一门较为专业的数学课程。1 泛函的概念最速落径问题,如图所示A、B两点不在同一铅垂 线，也不在同一高度8.1泛函与泛函的极值ABx(x,y,)我们知道，质点下落速率与下落高度间的关系为一质点在重力作用下无磨擦沿某曲线从A滑到B，求下 滑的最短时间
2、。或沿哪条曲线用时最短。所以T称为y(x)的泛函y(x)可取的函数种类，称泛函的定义域,泛函是函数 的涵数（不指复合函数）一般地， C是函数的集合， B是实数（或复数）的 集合，若对于C中的任一称元素y(x) ，在B中均有一 元素J与之对应，则称J为y(x) 的泛函是函数。记为与通常函数的定义不同，泛函的值决定于函数的取形。即如上例中，T的变化决定于 的变化，而非某一 个自变量x的值进而某一个函数y的值。 而是决定于函数集合C中的函数关系，即决定于函数的 取形。通常，泛函多以积分形式出现，如称为泛函的核其中2 泛函的极值与变分在泛函的概念下，最速落径问题归结为泛函的极值问题，所谓变分法,就是求
3、泛函的极值问题。研究泛函极值问题的方法归为两类：直接法与间接法要讨论间接法，先讨论泛函的变分问题。设有连续函数即导数的变分等于变分的导数,变分微分运算可交换次序。将其微小变形为其中t是一个小参数，称为 的变分，记为此时，函数相应变形为设对x, y, y二阶可导，y连续中相对于y、y作Tayler展开抵消t的0次项，保留t的1次项，略去t的高阶项有变分dy 时，泛函J的变化为则函数可得上式称泛函 J y（x）第一次变分，简称变分，记为3 泛函极值的必要条件欧拉方程 设泛函 J y（x）的极值问题有解，记为y = y(x)现在来推导此解y（x）满足的常微分方程设y=y（x）有变分 ， 则可视为t
4、的函数 表示为 当t=0时 亦即, F(t)函数取极值。即 取极值 这样，就把原来的泛函的极值问题转变成F(t)这种 普通函数的极值问题。 令即将代入上式，得即泛函取极值的必要条件是其变分为0，或者说，泛函J 的极值函数y(x)必须是满足泛函的变分dJ=0的函数类 所以泛函的极值问题称为变分问题在简单变分问题中， 端点是固定的同乘t 得即又因为（分步积分 ）欧拉(Euler)方程，泛函有极值的必要条件。所以，得）单变量多函数的泛函以上为单变量单函数泛函极值问题的欧拉方程，较复 杂的泛函欧拉方程可仿照上述方法导出。如与求多元函数的偏导数相似，分别对多函数泛函之 某一函数取变分，其余函数保持不变。
5、可得i=1,2, n）高阶导数的泛函取相应的欧拉方程为或写成）多元函数的泛函取相应的欧拉方程为例1 最速落径问题，即求解变分问题 代入得解：由于 欧拉方程变形为 不显含x 求出偏导数，有 通分并取平方取得 令代入上式摆线的参数方程常数c1 、c2由A、B位置决定4 泛函的条件极值问题若变量函数 y（x）受到附加条件的限制，则相应的 极值问题，称为条件极值问题。典型的也是最重的限制是用积分形式表示的,如即所谓等周问题 均为常数，可仿照函数条件极值问 题的Lagrange乘子法，即 其中 将附加条件乘以参数,确定特解l，求其变分，有这是通过a和b两点的y(x)在附加条件下,使泛函取极值的 必要条件
6、。则问题转化为一般的泛函变分问题，相应的欧拉方程为关于y(x)的二阶常微分方程，一般含三个参数，即l和 两个积分常数，泛函取极值的必要条件。由来确定例2 求 的极值，其中y是归一 化的，即 得解：此泛函的条件极值问题，可转化为变分问题 代入欧拉方程，有 这里且已知的通解为代入归一化条件，得所以而泛函的极值为使泛函取极小值 p2当n=1时，泛函满足条件5 求泛函极值的直接方法(Ritz 方法)从泛函自身出发，不经微分方程直接求出极值曲线 ，称为泛函极值问题的直接方法。 Ritz 方法典型的直接方法：要点是不将其放 在它全部定义域来考虑，而是在定义域的某一部 分来考虑。使J转化为 设某种完备的函数
7、系 试偿以其中的前几项来表示变分问题 dJ = 0 的解 其中 为待定系数 的n 元函数所以按多元函数求极值的方法，令不过这样得出的函数并非变分问题dJ = 0的严格解 由于f的形式是我们预先选定的，比如即 由此解出 便确定出了函数y(x)而是近似解,记为yn(x)，严格解应为 Ritz法中函数系ji的选取至关重要，如何选取？ 例3 用Ritz方法求例2。即求采用试探解项的选取是为了满足解：以 作为选取的函数系 将其代入得下的变分问题。在约束条件且已知由即结果是把代入得显而易见，在c1=0时，Jy(x)最小，最小值为10所以对比近似解，抛物线 严格解，正弦曲线 且1）把偏微分方程的本征值问题或
8、定解问题，与泛函的 极值问题联系起来，使原来的方程是泛函的欧拉方程；2）用直接方法求出泛函的极值函数，由于此函数一 定满足欧拉方程，所以，也一定满足原方程，即一定 是原方程的解。用变分法求数理方程的基本原理本节以Helmhotz方程的本征值问题和Poisson方程的边 值问题为例，讨论把上述问题转化为泛函极值问题或 变分法的基本方法，然后来求解极值问题（用直接方 法）。8.2用分法求解数理方程（设u在区域t内有连续的二阶导数，l为参数, s为t的边界）取泛函令1 本征问题与变分问题的关系Helmhotz本征值问题由第一格林公式则有或其中对应的欧拉方程为对于三元函数的泛函， 其变分问题为所以即泛
9、函中把代入欧拉方程，得欧拉方程变为极值问题的欧拉方程就是Helmhotz方程在 边界条件下本征值问题而且，此泛函变分问题与泛函 在附加条件 就是说，Helmhotz方程的本征值问题，可归结为归一 条件下J1u的极值问题。 下的变分问题等价。所对应的泛函同样为若为第二类边界条件 同样亦有即本征值问题若为第三类边界条件 类似地有则本征值问题 记和边界条件 下 的极值问题可归结为在附加条件 求泛函2 泛函极值与本征值问题的关系 仍以Helmhotz方程为例，先给出一重要结论：的最小值l0就是本征值问题泛函的最小本征值,而使泛函J1u在边界条件和附加条件 u0就是该本征值问题对应本征值l0的本征函数。
10、取得最小值的函数结论的证明：有最小值l0 的极值函数，则有设u0是使泛函由边界条件知的欧拉方程为 又，在附加条件下所以u0满足 或代入J1u0,有u0是本征函数。再证明：即l0 是本征值，设l0是最小本征值。相应的本征函数为u1 则有这与是的最小值相矛盾 结论得证。有次小值l1 的极值函数，类似地还可证明，若设u1是使泛函且满足边界条件和附加条件除此之外，还同时满足与u0正交的条件。即设相应的本征函数为u1 满足依此类推，泛函取第i个极值的极值函数ui 满足且满足边界条件和附加条件除此之外，还同时满足正交条件 即由此得到的泛函的次极小值就是本征值问题的次极小值对于一系列本征值相应的本征函数为例
11、 用变分法求边界固定的圆膜横振动的本征振动。 代入上式，得引入无量纲变量解：取平面极坐标，定解问题为 令 旋转对称 记得这是一个二阶常微分方程的本征值问题，用变分法对于任意的二阶常微分方程的本征值问题，形如在归一化条件能够证明，可转化归结为：及相应边界条件下求泛函的极值问题二方程对比在归一化条件有下，求泛函的极值问题所以方程的求解采用直接方法（Ritz方法）求解 令 代入 归一化条件和泛函，得（如此取形使x=0处不出现尖点）算出各积分，得I,J 两个关于c1，c2的函数为由Lagrange乘子法，取极值的条件为 其中:k=lb2c1 、c2 非零解存在的条件是：解出k的两个解为， 最小本征值为
12、 因l=b2/k 将其代入c的方程和归一化条件解出本例的严格解可由分离变量法得出，结果为为最小本征值为相应的本征函数称为零阶Bessel函数，称为零阶Bessel函数的第一个零点。第一类边值问题3 边值问题与变分问题的关系以Poisson问题为例来讨论s为t的边界取 对取变分，有但由泛函取极值的条件为，所以相应的欧拉方程为（前式利用格林第一公式）并非原Poisson边值问题或即求解本征值问题可归结为在边界条件下Ju的极值问题。 也就是说,取泛函相应的欧拉方程就是原Poisson边值问题的方程令若为第二、三类边界条件 二类h为零，三类h不为零 取变分类似地有故 即在边界条件 下 的极值问题的定解问题可归结为泛函方程
