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1、-1-第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换与与线性方程组的解线性方程组的解3.4 3.4 线性方程组的解线性方程组的解3.3 3.3 矩阵的秩矩阵的秩3.2 3.2 初等矩阵初等矩阵3.1 3.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换-2-3.13.1 矩阵的初等变换用Gauss消元法求解下面方程组 方程组与增广矩阵是一一对应一一对应关系, 我们用增广矩阵来写求解过程引例-3-首先搞清一个概念:什么是同解方程组同解方程组?同解方程组也称等价方程组等价方程组.(注:等价与同解有点小区别,这里就不区分了)这个矩阵所对应的方程组与原这个矩阵所对应的方程组与原方程组同解吗方程组同解吗? ?逆变换是什么逆
2、变换是什么? ?以后每一步都思考同样的问题以后每一步都思考同样的问题. .-4-5-得到同解方程组(就是解)GaussGauss消元法的思想消元法的思想? ?-6-(3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、第三种初等行变换初等行变换(1) 交换矩阵的某两行，记为(2) 以不等于的数乘矩阵的某一行，记为记为类似定义三种初等列变换初等列变换以上六种变换统称为矩阵的初等变换初等变换定义定义-7-初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, , 且变换类型相同且变换类型相同逆变换逆变换逆变换初等列变换也有类似的结果-8-等价关系在一个集合 S 中
3、如果有一种关系 R 满足(1) 自反性：aRa; (2) 对称性：aRb bRa; (3) 传递性：aRb, bRc aRc。则称 R 为 S 的一个等价关系。定义定义有了等价关系就可以把S的元素进行分类，把相互等价的元素归于同一类，称为等价类。即同一类中的元素都等价，不同类中的元素不等价。在等类价中通常选一个“简单”的元素作为代表，在矩阵中常称这个代表为某某标准形。-9-在 的矩阵集合 中, 如果 ,则称 A 与 B 具有行相抵的关系,问行相抵是不是 中的一个等价关系?在与方程组增广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的,然后求解这个最简单的矩阵所对应的方程组.以后我们把这个最简单的矩阵叫做(行
4、)最简阶梯形矩阵.Gauss消元法的思想又可表述为,-10-下面形状的矩阵称为(行)阶梯形矩阵下面形状的矩阵称为(行)最简阶梯形矩阵定义定义定义定义-11-只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形，从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一，最简阶梯形唯一。定理定理-12-例1-13-下面讨论对一个矩阵实施初等变换(既可用行变换又可用列变换)能把矩阵化成最简单的形状是什么?如果 ,则称 A A 与与 B B 相抵相抵(也称等价等价 )定义定义在 中相抵关系是不是一个等价关系?-14-用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形等价标准形（也称相抵标准形相抵标准形）：等价标准形是唯一的。(等价标准形定理)定理定理-
5、15-例2（接例1）形状为第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换与与线性方程组的解线性方程组的解3.4 3.4 线性方程组的解线性方程组的解3.3 3.3 矩阵的秩矩阵的秩3.2 3.2 初等矩阵初等矩阵3.1 3.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换-17-3.23.2 初等矩阵矩阵初等变换前后两个矩阵之间的关系是什么？, 如何把它们用等号联系起来？-18-回顾把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的左边！-19-把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的左边！-20-把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的左边！-21-把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的右边！-22-把单位矩阵作同样变
6、换得到 的矩阵放在A的右边！-23-把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的右边！-24-把单位矩阵分别作第一、第二、第三种初等行变换得到的矩阵分别称为第一、第二、第三种初等矩阵。定义定义记号-25-100010001100010001-26-初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵。为什么?定理定理回想它们逆变换？再验证如下：-27-(左行右列原则左行右列原则)对一个矩阵施行一次初等对一个矩阵施行一次初等行行变换，相当于在它变换，相当于在它的的左左边乘以一个边乘以一个相应的相应的初等矩阵；对一个矩阵施行初等矩阵；对一个矩阵施行一次初等一次初等列列变换，相当于在它的变换，相当于在它的右
7、右边乘以一个边乘以一个相应相应的的初等矩阵。初等矩阵。定理定理-28-例1-29-例2-30-根据“左行右列”原则和“等价标准形定理”得一些有用的推论：推论1存在有限个初等矩阵 和使得-31-在推论 1 中如果 A 可逆, 右边的标准形是什么？注意到初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，又得任一可逆矩阵必可分解为有限个初等矩阵的乘积。从而, 矩阵可逆的充要条件是它可分解为有限初等矩阵的乘积。 推论2-32-设 A 是可逆矩阵,则A-1也是可逆矩阵,由推论2，A-1 可分解为初等矩阵的乘积：把上式用左行右列原则看又得：A 可逆的充要条件是 .推论3思考:-33-A 与 B 等价(即 )的充要条件是存在可
8、逆矩阵 P 和 Q 使得推论4根据以上分析， (1) 用可逆矩阵P左乘矩阵A , 相当于对A作了一系列的初等行变换，反之.(2) 用可逆矩阵Q右乘矩阵A , 相当于对A作了一系列的初等列变换，反之.-34-设 即有初等矩阵 使得问作一次行变换再作一次行变换继续考虑对 作行变换求逆矩阵的初等变换法求逆矩阵的初等变换法-35-例3（把第1节解方程组的题重做）记为-36-的解-37-回忆第 1 节用 Gauss 消元法是这样做的:直接就得到方程组的解，而且更简单。这实际上是把求 和计算 合并完成了。再看看求逆的原理：换成 b 如何？-38-矩阵方程 AX=B (假设 A 可逆)，如何求解？方法一方法
9、一：先求 ，再计算方法二方法二：则方法一方法一：求 ，再计算XA=B (假设 A 可逆) ？方法二方法二：-39-例3解矩阵方程解-40-41-第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换与与线性方程组的解线性方程组的解3.4 3.4 线性方程组的解线性方程组的解3.3 3.3 矩阵的秩矩阵的秩3.2 3.2 初等矩阵初等矩阵3.1 3.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换-43-3.3 矩阵的秩在矩阵 的等价标准形中数 r 由 A 惟一确定,它也是 A 的阶梯形矩阵的非零行 数，称之为矩阵 A 的秩秩。这个数特别重要：例如例如, 设 A 是 n 阶的方阵, 如果 r = n ,则 A 可逆, 否则
10、 r n，则 A 不可逆. 再如再如，对方程组 Ax = b ,增广矩阵的秩就是独立方程的个数。-44-在矩阵 A 中, 任取 k 行 k 列, 位于这些行列交点 上的元素按原次序构成的 k 阶行列式, 称为 A 的 k k 阶阶子式子式.定义定义例如等等, 它们都是二阶子式.等等, 它们都是三阶子式.每一个元素都是一阶子式.-45-矩阵A的非零子式的最高阶数, 称为A的秩秩, 记 做r(A).规定:零矩阵的秩是零.定义定义例如-46-回答下面问题：回答下面问题：(2) mn 的矩阵 A , 其秩最大可能是?r(A)min(m, n)(3) A 有一个 r 阶子式不为零,其秩至少是?r(A)r
11、(4) A 有一个 r 阶子式不为零, 且所有 r + 1 阶都等于零, 所有 r + 2 子式都等于 , A 的秩等于 如果 A 的所有 r 阶子式都等于零, A 的秩最大可能是 。(5) r(A) ? = r(AT)零r(6) A为 n 可逆矩阵的充要条件是 r(A) = r(A) = r(AT)n(7) A = O 的充要条件是 r(A) = 0r1(1) 矩阵的秩是否惟一?当然惟一满秩矩阵-47-初等变换不改变矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩。设 r(A)=r 且(1)证证例如从而，r(B)r(A)，又第一种初等行变换是可逆的，其逆仍是第一种初等行变换，所以又有r(A)r(B)，综上
12、r(A)=r(B)。秩的基本定理秩的基本定理(P68 定理3)-48-(2)例如与前面同样的道理,第二种初等行变换不改变矩阵的秩。-49-例如因此矩阵的秩不变。，由于 时结论成立，只需考虑(3)-50-(4) 以上证明了初等行变换不改变矩阵的秩，即 r(PA) = r(A) (P是初等矩阵)，考虑转置 r(ATPT) = r(AT) 即知初等列变换也不改变矩阵的秩。证毕。秩的基本定理秩的基本定理又可叙述为:r (P m A mn Q n ) = r (A)(其中 P，Q 是可逆矩阵)注：该定理回答了矩阵标准形中 r 是唯一的。它就是矩阵 A 的秩。-51-如何求矩阵的秩？阶梯形矩阵的秩就是其非
13、零行数阶梯形矩阵的秩就是其非零行数！-52-例1(P68 例5) 求矩阵 A 的秩建议只用行变换阶梯形不唯一-53-例2(P69 例6)求 和把上面矩阵与方程组把上面矩阵与方程组 Ax Ax = = b b 对应起来对应起来, , 方程组有解吗方程组有解吗? ?-54-秩的重要性质秩的重要性质-55-(4)的证明:只证阶梯形阶梯形考虑转置-56-证证-57-(P101 例15)(P110 习题27)(P101 例13)(A称为列满秩矩阵列满秩矩阵)(A称为行满秩矩阵行满秩矩阵)-58-永远是奇异矩阵有可能是非奇异矩阵例3-59-(参见P71 例8)证例4-60-则(A) t = 6 时, 必有
14、 r(P) = 1(B) t = 6 时, 必有 r(P) = 2(C) t 6 时, 必有 r(P) = 1(D) t 6 时, 必有 r(P) = 2首先, 又例5第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换与与线性方程组的解线性方程组的解3.4 3.4 线性方程组的解线性方程组的解3.3 3.3 矩阵的秩矩阵的秩3.2 3.2 初等矩阵初等矩阵3.1 3.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换-62-3.4 线性方程组的解(1) 如何判别方程组无解？有唯一解？有无穷多解？(2) 如何求方程组的通解？(3) 根据方程组解的判别定理，进行理论证明。学习内容学习内容-63-解方程组例1第一步第一步:把增广矩阵化阶梯形,如果 ,则无解(为什么),如果 则继续化为最简阶梯形。问:此时 其含义是 独立(或有效)方程的个数。以下问题针对 的一般方程组来回答。-64-第二步第二步：写出等价的(独立的)方程组，保留第一个未知数在左边其余的移到右边，移到右边的称为自由变量。问：自由变量的个数 =即未知数的个数减去独立方程的个数。问：何时有唯一解？何时有无穷多解？当出现自由变量时，令自量为任意数就可得到无穷多解，当没有自由变量时有唯一解。即当
