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1、 基础知识 一、单调性定义 1单调性定义：给定区间D上的函数f(x) ，若对于 D，当x1 2证证明单调单调 性的步骤骤：证证明函数的单单 调调性一般从定义义入手，也可以从导导数入 手 (1)利用定义证义证 明函数单调单调 性的一般步骤骤 是： ； ； (2)设设函数yf(x)在某区间间内可导导 如果f (x) 0，则则f(x)为为增函数；如果f (x) 0，则则f(x)为为减函数任取x1、x2D，且x10，即f(x)在(0,1)内单调递 减 由于f(x)是奇函数，所以f(x)在(1,0)内 单调递减 总结评述 由于函数f(x)是奇函数，只 要判断其在(0,1)上的单调性便可知道它 在对称区间
2、(1,0)上的单调性，故在判 断其单调性时，首先在(0,1)上任取x1、x2 ，否则，若直接在(1,0)(0,1)上任取 x1x11， x2x11，x2x10，x2x12，x2 x120， f(x1)f(x2)(x2x1)(x2x12)0， 即有f(x1)f(x2) 故函数f(x)x22x1在1，)上 为减函数 (3)函数f(x) 在1，)上为 增函数， 证明如下： 任取x1、x21，)且1x11时时f(x)0， (1)判断函数f(x)在1，)上的单调单调 性； (2)在(1)的条件下解不等式f(x22x3)x21，则x1x20，x1x211，所以f(x1x21)0.又f(x1x21)f(x1
3、x2)f(1)2(x1x2)1，所以f(x1)f(x2)f(x2(x1x2)f(x2)f(x1x2)2x2(x1x2)1f(x1x21)2(x1x2)(x21)0.所以f(x1)f(x2)，即f(x)在1，)上单调递增 (2)令y1，则f(x1)f(x)12x，所以f(x1)f(x)2x1.所以f(2)f(1)3，f(3)f(2)5，f(4)f(3)7，f(n)f(n1)2(n1)12n1，上述等式两边分别相加得f(n)f(1)357(2n1)n21，又因为f(1)0，所以f(n)n21，而当n21120时，n11，所以不等式f(x22x3)1时时，f(x)0，且f(xy)f(x)f(y) (
4、1)求f(1)； (2)证证明f(x)在定义义域上是增函数； (3)如果f( )1，求满满足不等式f(x) f( )2的x的取值值范围围 分析：(1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(xy)f(x)f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(xy)f(x)f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f g(x)f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解 解析：(1)令xy1，得f(1)2f(1)，故 f(1)0. 总结评述：本题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解在本题的求解中，一个典型的方法技巧是根据所给式子f(
5、xy)f(x)f(y)进行适当的赋值或配凑这时该式及由该式推出的f( )f(x)实际上已处于公式的地位，在求解中必须依此为依据 1单调性首先要求函数的定义域，单调区间是定义域的子区间 2单调单调 性的定义义中x1，x2要有任意性，且不能用两个特殊值值的大小判断函数在区间间上的单调单调 性例如：对对函数f(x) ，由于f(1)f(2)，所以函数是单调递单调递减函数这这是错误错误 的说说法其实实函数f(x) 在(，0)上是单调递单调递 增，在(0，)上是单调递单调递 增 3单调区间不能用并集表示因为两个区间的并集，并不一定是一个区间 4重要性质质： (1)注意函数yf(x)与ykf(x)的单调单调 性与k(k0)的相关性 (2)注意函数yf(x)与y 的单调单调 性间间的关系请同学们认真完成课后强化作业
