第六章 圆轴的扭转

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1、第六章 圆轴的扭转 第一节 扭矩和扭矩图 第二节 剪切剪切胡克定律 第三节 圆轴扭转时横截面上的应力 第四节 圆轴扭转时强度计算 第五节 圆轴扭转时变形和刚度计算扭转：直杆的两端，在垂直于杆轴线的平面内作 用一对大小相等，方向相反的外力偶，使杆件各 横截面发生绕轴线相对转动。这种变形形式称为 扭转。轴：以扭转变形为主要变形的杆件称为轴。横截面为 圆形的轴称为圆轴。扭转变形的受力特点是：在与杆件轴线垂 直的平面内，受到一对大小相等、方向相反的 力偶作用。扭转变形的变形特点是：各横截面绕杆件 轴线发生相对转动。实心圆轴和圆管受扭转作用时的力学分析较 为简单，而且又是最常见的受扭构件形状，本 节只研

2、究等截面圆轴（含圆管）的扭转问题。 第一节 扭矩和扭矩图一、外力偶矩的计算轴传递的功率P、转速n与外力偶矩M的关系：其中：P 轴传递的功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（r/min）外力偶矩转向的确定方法：输入功率的主动轮上作用的力偶 矩为主动力矩，其方向与轴的转动方向一致；输出功率的从 动轮上作用的力偶矩为阻力矩，其方向与轴的转动方向相反 。 MMmm二、扭转时的内力扭 矩的计算MMTMMT扭矩正负规定：右手螺旋法则扭矩单位：N m或kNm例6.1 传动轴的主动轮B上作用的力偶矩为MB=6kNm的主动 力偶，A、C、D三个从动轮上的阻力偶矩分别为MA=3kNm、 MC=2kNm、MD=1kN

3、m，用截面法来求-截面的内力。 解：求扭矩MT2 如图b 或如图c 图b图c扭矩另一种计算方式：1、假设某截面扭矩皆为正，则该截面上的扭 矩等于截面一侧轴上所有外力偶矩的代数和 。 2、计算时外力偶矩的正负号规定：右手拇 指与截面外法线方向一致，四指与外力偶矩 转向相同时取负号；不同时取正号。4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目 的扭矩变化规律；|MT|max值及其截面位置 强度计算（危险截面） 。扭矩图的绘制：与轴力图绘制方法相似，绘制扭矩图时，需 先以轴线方向为横轴（x轴）、以扭矩（MT）为纵轴，建立 MT-x坐标系。然后将圆轴各段截面上的扭矩（MT）标在MT-x 坐

4、标中，即可绘出扭矩图。例6.2 传动轴上主动轮A的输入功率PA=40kw，三个从动 轮B、C、D的输出功率分别为PB=18kw，PC=PD=11kw，轴的 转速为n=200rmin。现在两种主、从动轮的布置形式， 分别如图a、b。试求两种布置情况下：1.传动轴各段中的 转矩值；2.绘制传动轴的扭矩图；3.对传动轴承受的转矩 大小进行对比，说明哪种布置形式较为合理。 解：1.求作用于传动轴上的外力偶矩。扭矩要由外力 偶矩M来计算，而实际问题中更常见的已知条件是功率P和 转速n，所以先要由功率、转速计算外力偶矩 2.传动轴各段的扭矩值（MT1、MT2、MT3），并绘制扭矩 图。 图a中： MT11

5、910Nm MT21051 Nm MT3525 NmMT图b中： MT1 859 Nm MT2 1051 Nm MT3 525 NmMT3.对比两种布置形式下传动轴所受的转矩。 在图a 情况下，所以，图b所示的布置形式将主动轮布置在几个从动 轮之间的情况较为合理。 而在图b情况下，可见，虽然传动轴输入、输出的功率相同，但将主 动轮布置在几个从动轮的中间位置，使主动轮两侧从动 轮上的转矩之和接近相等，可以降低传动轴承受的转矩 ，从而有利于提高传动轴的抗扭强度，或缩小传动轴的 直径、减少用材，减轻重量。 第二节 剪切剪切胡克定律一.剪切的概念 剪切变形的受力特点是：作用在构件两侧面上外力 的合力大

6、小相等、方向相反、作用线平行且相距很近。 常见的剪切变形不发生剪切破坏的条件，即抗剪强度条件为: 实用计算中，通常假设剪切应力在剪切面上 是均匀分布的，如图d。则: 二.剪应变和剪切胡克定律 剪切变形时，剪切面附近的截面互相间发生错动。 将剪切面附近变形前后的情况放大如图a、b：剪切面附 近的材料由变形前的矩形，变形后成为斜平行四边形， 变化的角度称为剪应变，用弧度（rad）来度量。 等直圆杆扭转时，相邻截面保持平行，只存在剪应力， 而无正应力。与剪力对应的应力称为剪切应力，以表示。剪 切应力与剪切力Q方向一致，与剪切面相切，单位为 帕（Pa）或兆帕（MPa）。剪切面：发生相对错动的截面，位于

7、二力作用线之间 。剪切面上与截面相切的内力称为剪力，用Q表示。剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极 限时，剪应变与剪应力成正比： 为材料的剪切弹性模量，单位GPa,是材料抵 抗剪切变形能力的指标。常用钢材的G8084GPa。 线应变和剪应变是度量构件变形的两个基 本参量。 1. 横截面变形后仍为平面，只是绕轴线相对转过了一个 角度；2. 轴向无伸缩；3. 纵向线变形后仍为平行，转过相同的角度 。一、等直圆杆扭转实验观察及假设：第三节 圆轴扭转时横截面上的应力 结论： 1. 扭转变形的实质是剪切变形； 2. 横截面上只有垂直于半径方向的剪应力 ，没有正应力 。圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转

8、变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平 面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间 的距离不变。二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：等直圆杆横截面应力变形几何方面物理关系方面静力学方面横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式 。式中： MT横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。结论： 1.剪应力的方向与半径垂直，绕圆心转向与扭矩方 向相同； 2. 剪应力沿半径成线性规律分布。剪应力公式同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。由知：当WP 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。三.最大剪应力计算公式第四节 圆

9、轴扭转时的强度计算 圆轴扭转的强度条件是：轴的危险截面（即 产生最大扭转剪切应力的截面）上的最大剪切应 力max不超过材料的许用剪切应力即许用剪切应力值由相应材料试验测定并 考虑安全系数后加以确定。圆轴扭转的强度计算可解决三类强度问题 1.强度校核 2.设计截面尺寸（圆轴直径）：已知外载荷 条件和选定材料的许用剪切应力，要求设计 圆轴的直径D，或空心圆轴的外径D和内径d。3.确定许可载荷：已知圆轴的直径D，或空心 圆轴的外径D和内径d以及选定材料的许用剪切应 力，求圆轴上所能承受的最大外力偶矩或传 递的最大功率，即许可载荷。例6.3 汽车的传动轴AB由45钢无缝钢管制成，外径 D=90mm，壁

10、厚t=2.5mm，如图所示。该轴传递的最大转矩 M=1.5kNm，材料的许用剪切应力=60Mpa。试求：1.校核该传动轴的抗扭强度。2.若改用相同材料的实心圆轴，且和原钢管传动轴有 同等的抗扭强度，计算其直径DS。3.比较空心轴和实心轴的重量。解 1. 校核强度 由受力图可知，传动轴内横截 面上的最大扭矩MTmax就等于它传递的最大转矩M， 即：MTmax=M=1.5kNm该轴内、外径之比 而所以，传动轴能满足抗扭强度要求。 2计算等强度的实心圆轴直径DS 即要求实心圆轴横截面的抗扭截面模量和原圆 管截面的抗扭截面模量相等： 由抗扭截面模量公式有 所以 3空心轴重量G和实心轴重量GS的对比 两

11、轴的材料和长度相同，两者重量之比等于 它们的横截面面积之比 空心传动轴的合理性 采用空心传动轴能有效节省材料，减轻自重，提高承 受能力。空心轴受扭在力学上的合理性，可以从扭转剪切 应力在横截面上的分布图得到说明。但空心圆轴的环形壁 厚尺寸也不能过小。另外，只有截面闭合的空心圆轴才有 较高的抗扭强度，开口圆管的抗扭能力是很低的。 圆轴扭转时的变形由两横截面间相对扭转角 来度量 ：即第五节 圆轴扭转时变形和刚度计算 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。二、圆轴扭转时的刚度条件：单位长度的扭转角不超过许用 单位扭转角 ，即 或精密仪器仪表的轴： =0.15 0.5(/m); 一般

12、传动轴： =0. 5 1(/m); 精度较低的轴： =14(/m);刚度计算的三方面：校核刚度：设计截面尺寸：计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。例6.4长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图， 若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚 度，并求右端面转角。解：设计杆的外径40NmxT代入数值得：D 0.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度40NmxT右端面转角为：39例6.5 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500马力， 输出功率分别 N2

13、= 200马力及N3 = 300马力， 已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)由刚度条件得：500400N1N3N2ACBT x7.0244.21(kNm)综上 ：全轴选同一直径时 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814例6.6：如图所示阶梯轴，直径分别为 ， ，已知C轮输入转矩 ，A轮输出转矩 ，轴的转速 ，轴材料的许用切应力 ， 许用单位长度扭角 ，切变模量 ，试校核该轴的强度和刚度。 CBACBA解 : 1.求各段扭矩：由于各段半径不同，危险截面可能发生在AB段的截面 处，也可能发生在BC段 。2.校核强度 所以，强度 满足要求。 3.校核刚度 所以，轴的刚度也满足要求。