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1、第四节 函数y=Asin(x+)的图像及三角函数模型的简单应用三年12考 高考指数:1.了解函数y=Asin(x+)的物理意义，能画出函数y=Asin(x+)的图像，了解参数A、对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.1.图像的变换规律：平移和伸缩变换在主、客观题中均有考查，是高考中考查的重点和热点.2.结合三角恒等变换考查y=Asin(x+)的性质及简单应用是考查的热点.1.用“五点法”作函数y=Asin(x+)(A0,0)的图像“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个交点,作图时的一般步骤为:(
2、1)定点：先确定五点.即令x+分别等于0, ，, ,2，得对应的五点如表所示(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y=Asin(x+)在一个周期内的图像.(3)扩展：将所得图像,按周期向两侧扩展可得y=Asin(x+)在R上的图像.【即时应用】(1)“五点法”作图取五个点的横坐标时有怎样的技巧和方法？提示：函数y=Asin(x+)(A0,0)的图像在一个周期内的五点横向间距必相等，为 于是五点横坐标依次为 这样，不仅可以快速求出五点坐标，也可在求得x1的位置后，用圆规截取其他四点，从而准确作出图像.另外，与五点法作函数y=sinx图像类似，也可以把x+看成一个整体，令
3、x+依次取 则五个点横坐标依次可求.(2)用五点法作函数y=sin(x- )在一个周期内的图像时，主要确定的五个点是_、_、_、_、_.【解析】分别令可求出x的值分别为又因为A=1,所以需要确定的五个点为：答案：2.三角函数图像的变化规律(其中A0，0)(1)先平移后伸缩y=sinx的图像 y=sin(x+)的图像y=sin(x+)的图像y=Asin(x+)的图像y=Asin(x+)+b的图像向左(0)或向右 (1)到原来的 _(纵坐标不变) 纵坐标伸长(A1)或缩短(00)或向下(b1)或缩短(01)到原来的_(纵坐标不变)向左(0)或向右(0)或向下(b0,0),x0,+)表示简谐运动时，
4、则A叫做_， 叫做_， 叫做_，x+叫做_，x=0时的相位叫做_.振幅周期频率相位初相【即时应用】(1)函数 的振幅、周期和初相各是什么？提示：振幅A=5,初相 周期 (2)如图，它表示电流I=Asin(t+)(A0,0,| )在一个周期内的图像.试根据图像写出I=Asin(t+)的解析式：_，其频率f=_.【解析】由图像知所以 由由得=2k+ (kZ),| ,= ；所以 即答案：函数y=Asin(x+)(A0,0)的图像及其图像变换【方法点睛】函数y=Asin(x+)(A0,0)的图像的作法(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(x+)的简图，主要是通过变量代换，设z=x+，由z取 来求出
5、相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像.(2)图像变换法：由函数y=sinx的图像通过变换得到y=Asin(x+)的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【提醒】五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图像变换要注意顺序，平移时两种平移的单位长度不同.【例1】画出函数y3sin(2x )，xR的简图.【解题指南】作函数y3sin(2x )的图像可用五点作图或图像变换法.【规范解答】方法一：五点法由T ，得T，列表： x2x+ 3sin(2x+ )0230-300描点画图：将所得图像按周期向两侧扩展可得y=3sin(2x+ )在R上的图像. 方法二：图像变
6、换法将所得图像按周期向两侧扩展可得 在R上的图像.【反思感悟】1.五点法作图的关键是正确确定五个点,而后列表、描点、连线即可.要注意在作出一个周期上的简图后，应向两侧伸展，以表示整个定义域上的图像.2.用图像变换法作图仅能作出简图.【变式训练】1.(2012西安模拟）设0,函数y=的图像向右平移 个单位后与原图像重合，则的最小值是( )【解析】选C.周期 函数图像向右平移 个单位后与原来图像重合，说明平移的单位至少为一个周期，2.试述如何由 的图像得到y=sinx的图像.【解析】方法一：y= sinxy=sinx横坐标扩大为原来的2倍纵坐标不变图象向右平移 个单位纵坐标不变纵坐标扩大到原来的3
7、倍横坐标不变方法二：(1)先将 的图像向右平移 个单位，得到 的图像；(2)再将 上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得到 的图像；(3)再将 图像上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，即可得到y=sinx的图像.由图像求解析式【方法点睛】确定y=Asin(x+)+b(A0,0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m,则 (2)求，确定函数的周期T，则可得(3)求，常用的方法有：代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，,b已知)或代入图像与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点
8、为突破口.具体如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)时x+=0;“第二点”(即图像的“峰点”)时x+= ;“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)时x+=;“第四点”(即图像的“谷点”)时x+= ；“第五点”时x+=2.【提醒】在求时要注意已知中所给的的范围.【例2】(1)(2012安庆模拟)已知函数y=Asin(x+)+B(A0,0,| )的周期为T，在一个周期内的图像如图所示，则正确的结论是( )(2)(2012南昌模拟)函数y=Asin(x+)(0,|)在一个周期内的图像如图所示，此函数的解析式为( )(3)如图是f(x)Asin(x)，A0，0,的一段图像，则函数f(x)的解析式为
9、_.【解题指南】根据图像得出相应系数的值，即可求得解析式.【规范解答】(1)选C.由图像知故选C.(2)选A.由图像知A=2，T=2 =.=2，y=2sin(2x+).又y=2sin(2x+ ).(3)由图像得A=2，当x=0时，因为 所以 所以由题图可知=3，所以f(x)=2sin(3x+ ).答案：f(x)=2sin(3x+ )【互动探究】把本例中(3)的图像改为如图，其他不变，如何求解？【解析】由图像知A= T4，所以T=16，则由6 +=+2k,kZ,| ,得 所以函数的表达式为：【反思感悟】1振幅A与最值有关；与周期T有关；初相用待定系数法求解;2利用待定系数法解题的过程中选择的点要
10、慎重;3要善于观察图像，抓住图像的特征.【变式备选】函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,| )的部分图像如图所示.(1)求，.(2)求函数的图像的对称轴和对称中心.【解析】(1)由图像知T=, 由得(2)由(1)得 由 得函数f(x)的对称轴为又由 得故对称中心为三角函数性质的应用【方法点睛】函数y=Asin(x+)(A0,0)的性质(1)奇偶性=k时，函数y=Asin(x+)为奇函数；=k+ (kZ)时，函数y=Asin(x+)为偶函数.(2)周期性y=Asin(x+)存在周期性，其最小正周期为 (3)单调性根据y=sint和t=x+的单调性来研究,由得单调增区间；由 得单调减区间.(4)对称性利用ysinx的对称中心为(k，0)(kZ)求解，令x+=k(kZ),得其对称中心;利用y=sinx的对称轴为x=k+ (kZ)求解,令x+=k+(kZ),得其对称轴. 【例3】已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|0,0,010.5,即则所以49t0,-0,0,|)在一个周期内，当 时，y取最小值-3；当 时，y取最大值3.(1)求f(x)的解析式；（2）求f(x)在区间 上的最值.【解析】(1)在一个周期内，当x= 时，y取最小值-3；当 时，y取最大值3，T=，=2,f(x)=3sin(2x+),由当 时，y取最大值3得（2）
