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1、了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系/理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件1命题在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 的语句叫做命 题题，其中 的语语句叫做真命题题， 的语语句叫做 真假判断为真判断为假假命题2四种命题及其关系命 题题表述形式原命题题若p则则q逆命题题若q则则p否命题题若綈p则则綈q逆否命题题若綈q则则綈p(1)四种命题(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系互为逆否的两个命题 （同真或同假）;互逆或互否的两个命题不等价.等价3充分条件与必要条件(1)如果pq，则则p是q的 ，q是p的 ；(
2、2)如果pq，qp，则则p是q的 4反证法与证命题的逆否命题反证证法首先 ，即假定结论结论 由此出发发直至推出 、 ；证证命题题的逆否命题题，即由 的否定推出 的 充分条件必要条件充要条件否定结论不成立与题设、定义定理相矛盾结论题设否定1 已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q 是s的必要条件现现有下列命题题：s是q的充要条件；p是q的充分条件，而不是必要条件；r是q的必要条 件， 而不是充分条件；綈p是綈s的必要条件， 而不是充分条件；r是s的 充分条件，而不是必要条件则则正确命题题的序号是( )A B C D解析：由已知条件可知： ，则则sq；p q；又
3、p s，则则綈s 綈p，因此为为正确命题题答案：B2若集合P1,2,3,4，Q x|00，设设p：函数ycx在R上递递减；q：不等式x|x2c|1的解集为为 R，如果“p或q”为为真，且“p且q”为为假，求c的范围围解答：由p01c ，“p或q”为真，且“p且q”为假，p真q假或p假q真，若p真q假，则c的范围是(0,1)(， (0， ；若p假q真，则c的范围是(，01，)( ，)1，)，因此c的范围是(0， 1，).1.“AB”等价于“A是B的充分条件”；“BA”等价于“A是B的必要条件”；“AB”等价于“A是B的充要条件”，这这也是数形结结合思想方法的具体体现现2对对充要条件的证证明首先要
4、弄清“充分性”和“必要性” 【例2】 若ab0，试证a3b3aba2b20成立的充要条件是ab1.证明：先证证必要性：a3b3aba2b20，(ab)(a2abb2)(a2abb2)0，即(ab1)(a2abb2)0，又ab0，a2abb2 0，因此ab10，即ab1.再证证充分性：ab1，即ab10，(ab1)(a2abb2)0.即a3b3aba2b20.变式2.已知a、b是实数，求证：a4b42b21成立的充分条件是a2b21.该条件是否为必要条件？试证明你的结论证明：a2b21，a4b42b2(a2b2)(a2b2)2b2(a2b2)2b2a2b21.即a4b42b21成立的充分条件是a
5、2b21.另一方面又a4b42b21，即为a4(b42b21)0.a4(b21)20，(a2b21)(a2b21)0，又a2b210，a2b210，即a2b21.因此a2b21既是a4b42b21的充分条件，也是a4b42b21的必要条件.“正难则难则 反”是常见见的数学思想方法，比如证证明一个数是无理数、一个函数不是周期函数等问题时问题时 ，可考虑虑使用反证证法，反证证法在立体几何定理的推导过导过 程中也有着较为较为 广泛的应应用【例3】已知函数f(x)是(，)上的增函数，a、bR，对命题“若ab0， 则f(a)f(b)f(a)f(b)”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)
6、写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论解答：(1)逆命题题是：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则则ab0为为真命题题用反证证法证证明：假设设ab0，则则ab，ba.f(x)是(，)上的增函数，则则f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)，这这与题设题设 相矛盾，所以逆命题为题为 真(2)逆否命题题：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则则ab0为为真命题题因为为原命题题它的逆否命题题，所以证证明原命题为题为 真命题题即可ab0，ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)所以逆否命题为题为 真
7、变式3. 设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？解答：(1)证明：证法一：(反证法)若Sn是等比数列，则 S1S3，即 a10，(1q)21qq2，即q0与q0矛盾，故Sn不是等比数列 证证法二：只需证证明SnSn2 ，Sn1a1qSn，Sn2a1qSn1，SnSn2 Sn(a1qSn1)(a1qSn)Sn1a1(SnSn1)a1an10.故Sn不是等比数列(2)当q1时时，Sn是等差数列当q1时时，Sn不是等差数列，否则则S1，S2，S3成等差数列，即2S2S1S3.2a1(1q)a1a1(1qq2)a10，2(1
8、q)2qq2，qq2，q1，q0与q0矛盾.1对命题正误的判断，正确的命题要加以论证；不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式在判断命题正误的过程中，要注意简单 命题与复合命题之间的真假关系；要注意命题四种形式之间的真假关系2在充分条件、必要条件和充要条件的判断过程中，可利用图示这种数形结合的思想方法；在证明充要条件时，首先要弄清充分性和必要性3特殊情况下如果命题以p：xA，q：xB的形式出现，则有：(1)若AB，则p 是q的充分条件；(2)若BA，则p是q的必要条件；(3)若AB，则p是q的充要条件【方法规律】 4反证法是一种重要的间接证法，一般在命题结论涉及“无限”的形式、“否
9、定” 的形式或“至多”、“至少”的形式时，可考虑采用反证法反证法在很大程度上就是证明原命题的逆否命题，反证法的基本步骤是：(1)否定命题的结论(即命题的否定，要注意命题的否定和否命题的区别)；(2)通过逻辑推理导出矛盾(可以与已知矛盾、可以与公理和定义矛盾等等)，从而说明原命题是正确的(2009辽宁)(本题满分12分)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为别为 AB，DF的中点(1)若CD2，平面ABCD平面DCEF，求MN的长长； (2)用反证证法证证明：直线线ME与BN是两条异面直线线.解答：(1)取CD的中点G， 连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形
10、，且边长为2，所以MGCD，MG2，NG .因为平面ABCD平面DCEF，所以MG平面DCEF.可得MGNG.所以MN .6分【答题模板】 (2)证证明：假设设直线线ME与BN共面，8分则则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB平面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF，而EN为为平面MBEN与平面DCEF的交线线，所以ABEN，又ABCDEF，所以ENEF，这这与ENEFE矛盾，故假设设不成立所以ME与BN不共面，它们们是异面直线线12分 1. 本题题主要考查查了立体几何中点、线线、面的位置关系及其长长度问题问题，同时时考
11、查查反证证法在立体几何中的应应用等解有关立体几何问题问题 的通法是：结结合立体几何图图形，通过过必要的辅辅助线线，把立体几何问题问题 通过过点、线线、面的位置关系转转化为为平面几何问题问题 来处处理与解决利用反证证法来证证明立体几何中的相关问题时问题时 ，要充分利用点、线线、面的位置关系的相关定理与性质质2本题题第(1)问问事实实上就是求长长方体对对角线线的长长度；本题题第(2)问实际问实际 上是“过过平面外一点和过过平面内一点的直线线与平面内不过该过该 点的直线线是异面直线线”结论证结论证 明的改编题编题 【分析点评】 3 (1)求平行六面体的对对角线长线长 可利用空间间向量进进行运算(2)异面直线线的判定，直线线与平面平行和平面与平面平行的判定定理的证证 明都可采用反证证法. 点击此处进入 作业手册
