重积分

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1、第九章第九章 重积分重积分 第九章第九章 重积分重积分 多元函数在空间区域上的积分称为重积分。与定积分一样，重积分也是一个和式的极限，从这个意义上，重积分是定积分概念对多元函数的推广。重积分计算的基本方法是化为一元函数的定积分。 应用中遇到的重积分主要是二重积分和三重积分。本章主要介绍二重积分，这是因为，第一，二重积分可以画图，因而直观；第二，三重积分的计算方法与二重积分的计算方法是类似的，因而掌握了二重积分的计算，也就容易掌握三重积分的计算。 第九章第九章 重积分重积分 本章包括四节，第一节是重积分的概念，这一节和节7.1是平行的，第二节是重积分的性质，这一节和节7.2是平行的。最后两节介绍

2、重积分的计算。重积分的计算是本章的重点。 9.1 9.1 二重积分的概念二重积分的概念 9.2 9.2 二重积分的性质二重积分的性质 9.3 9.3 二重积分化为累次积分二重积分化为累次积分 9.4 9.4 直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算 第九章第九章 重积分重积分 9. 1 9. 1 9.1 9.1 二重积分的概念二重积分的概念 为方便表述,本节中p0表示点 (x0, y0) ，p表示点 (x, y)。 定积分是由计算曲边梯形的面积引进的，这同时也给了我们定积 分的几何意义。 9.1.1 9.1.1 引例引例 重积分是由计算曲顶柱体的体积引入 的，这同时给出重积分的几何

3、意义。 设D为平面区域，f (p)定义在D上，f (p) 0，则f (p)的图形，是张在D上的一张曲 面，如图9.1-1。 图9.1-1以曲面f (p)为顶、D为底的柱体称为曲顶柱体。 第九章第九章 重积分重积分 9. 1 9. 1 V = h ( 表示D的面积)。 分析：假若是平顶的柱体，即在D上f (p) h，这时柱体的体积 显然为 现在的麻烦是，f (x, y)在区域D上是变化的。处理这种问题的基 本思想是： 我们的问题是： 求以曲面f (p)为顶、D为底的曲顶柱体的体积。 将曲顶柱体分为许多微小部分，在微小部分上将f (p)看作不变，求出微小部分的体积，再将微小部分累积起来，借助极限过

4、程，将 近似化为精确。 第九章第九章 重积分重积分 9. 1 9. 1 f (pi) i i =1, n 每一个小区域分得足够小，以至于在每个小区域上，小曲顶柱体的高度f (p)可以近似的看作不变。 解：将D分为许多个小区域(见图9.1-2)： i ， i =1, n 图9.1-2相应的曲顶柱体被分为许多个小曲顶柱体： Vi ， i =1, n 在第i小区域i 上任取一点pi，将f (pi)近似地看作第i个小柱体的高，则第i个小柱体的体积近似的为 这里用i 同时表示i 的面积。 第九章第九章 重积分重积分 9. 1 9. 1 当小区域的数量增加,且每个小区域的直径0时,和式的极限 用di表示小

5、区域i 中任意两点之间距离的最大者，di称为小区将这些微小部分累加起来， 这就有必要对(1)式型的极限进行研究。(1)式型的极限就是下面 要定义的二重积分。 就是所求曲顶柱体的体积。 可见,为求曲顶柱体的体积，我们需要计算形如(1)式的极限。 域的直径，记d为这些小区域直径的最大者 还有许多问题的计算,都可以归结为形如(1)式的极限的计算。 第九章第九章 重积分重积分 9. 1 9. 1 9.1.2 9.1.2 二重积分的定义二重积分的定义 设D为平面上的有界区域，f (p)定义在D上， 将D分为许多小区域 i ，i =1, n 其直径为 di ，i =1, n 记 在第i个小区域上任取一点p

6、i，作和 第九章第九章 重积分重积分 9. 1 9. 1 定义定义 9.1.1 9.1.1： 若极限 存在，称 f 在D上可积，并称此极限值为 f 在D上的二重积分，记为 ，即 其中d叫面积微元，D叫积分区域，f (p)叫被积函数。 由引例，当f (p) 0，二重积分表示一个曲顶柱体的体积。曲顶 柱体可以看作是由许多个高为 f (p)，底为d 的“微小柱体”拼成，如图9.1-2。符号 表示把所有这些微小柱体的体积累积在一起的过程。第九章第九章 重积分重积分 9. 1 9. 1 于是小区域的面积为 = x y,因而面积微元为d = dx dy。在直角坐标系中，用平行于坐标轴的直线来分割D为小区域

7、(如图9.1-3)。 图9.1-3因此，直角坐标系下的二重积分，常写成 。 第九章第九章 重积分重积分 9. 1 9. 1 由二重积分的几何意义， 解：如图9.1-4，被积函数的图形，是半径 为R的上半球面，积分区域为半径为R的圆域 。 例9.1.1计算二重积分 ，其中积分区域D由曲线x2 + y2 = R2 所围成。图9.1-4二重积分 ， 等于以 为顶， 以半径为R的圆域为底的柱体的体积，也就是半个球体的体积。 由球体的体积公式 ，知 第九章第九章 重积分重积分 9. 1 9. 1 解：解：如图9.1-5，被积函数的图形为平行于XOY面的平面，积分区域为半径为R的圆域。 例9.1.2.计算

8、二重积分 ,其中积分区域D由曲线x2+y2= R2 所围成。 图9.1-5由二重积分的几何意义， 二重积分 ，是一个高为h，底面半径为R的圆柱体的体积，所以 第九章第九章 重积分重积分 9. 2 9. 2 9.2 9.2 二重积分的性质二重积分的性质 性质性质 1 1设区域D的面积为，则 我们在这里再用重积分的符号和术语重述这些内容，目的是想让读者阅读这些性质时，头脑中有一个具体的过程和直观的形象 ，而不至于由于太空洞而一闪而过。 二重积分与定积分有类似的性质,其叙述和证明几乎完全一样。注意到f (p)=1，由二重积分的几何意义，可知 是底面积为，高为1的柱体的体积。所以 。第九章第九章 重积

9、分重积分 9. 2 9. 2 性质性质 2 2常数因子可以从二重积分号下提出来。 证：证：这由二重积分的定义可知： 第九章第九章 重积分重积分 9. 2 9. 2 性质性质 3 3和的积分等于积分的和。证：证：这由二重积分的定义可知： 其中第一步和第三步用到重积分的定义，第二步用到“和的极限等于极限的和”。 第九章第九章 重积分重积分 9. 2 9. 2 性质性质 4 4若区域D分为两个部分D1，D2，则 证：证：由二重积分的几何意义(见图9.2-1)， 体积 是体积 与 的和。 图9.2-1第九章第九章 重积分重积分 9. 2 9. 2 性质性质 5 5若在D上，f (p) 0，则 证：证：

10、这由二重积分的几何意义可见。 性质性质 6 6若在D上，f (p) g (p)，则 证：证：这可由性质5推出： 因为此时，f (p) - g(p) 0，所以 所以 此性质的几何意义也很明确： 高的曲顶柱体的体积比矮的曲顶柱体的体积大。 第九章第九章 重积分重积分 9. 2 9. 2 性质性质 7 7积分的绝对值不大于绝对值的积分，即 证：证：由不等式 和性质6，有： 所以 第九章第九章 重积分重积分 9. 2 9. 2 性质性质 8 8若在D上，m f (p) M，则 由性质6 证：证：由 m f (p) M 其中， 为D的面积。 左边的积分，是高为m的柱体体积，右边的积分，是高为M的柱 体体

11、积，即 通常，m, M表示f在D上的最小值和最大值。 性质8常称为估值定理。 第九章第九章 重积分重积分 9. 2 9. 2 性质性质 9 9若 f 在有界连通闭区域D上连续，则 p0 D，s.t. 性质9称为二重积分的中值定理。 证：证：有界闭区域D上的连续函数必有最小值和最大值，设m, M 为f (p)在D上的最小值和最大值，有 m f (p) M 由性质8，有 从而 性质9称为二重积分的中值定理。 m C M记 ，则 第九章第九章 重积分重积分 9. 2 9. 2 即，C为介于最小值和最大值之间的值，由有界连通闭区域上连续函数的介值定理， p0 D，s.t. C = f ( p0 ) 即

12、 从而 性质2、3称为重积分线性性质。 第1、4、5、6、8条性质，由重积分的几何意义容易想到；性质 7和性质9需要重点记住。 第九章第九章 重积分重积分 9. 3 9. 3 9.3 9.3 二重积分化为累次积分二重积分化为累次积分 以下我们利用重积分的几何意义和微元分析法，把重积分归结为二次定积分来计算。 请读者注意，处理多元问题的基本策略是： 将多元问题化为一元问题。 也就是把多个变量在变的问题,化为只有一个变量在变的问题。我们按照对积分区域的描述方式进行讨论。 第九章第九章 重积分重积分 9. 3 9. 3 9.3.1 9.3.1 当当积分区域为积分区域为X X- -型型 当积分区域D由

13、 y =1(x),y = 2(x),( 2(x) 1(x) ),x = a,x = b 四条边界线围成，见图9.3-1。 此时称积分区域被描述成X-型。 图9.3-1X-型积分区域可用集合的记号表示为： X-型积分区域的特点是： 上、下边界方程表示为“y是x 的函数”的形式：y = (x)。 X-型积分区域的左、右边界也可 能退化成为一点,如图9.3-2所示。图9.3-2第九章第九章 重积分重积分 9. 3 9. 3 先求出小薄片的体积： xa,b，过x作垂直于x轴的 平面，截柱体，如图9.3-3： 二重积分 (当f (x,y) 0)可看作是一个以D为底的曲顶柱体的体积，如图9.3-3，你可以

14、把它看作一块“萝卜”。我们用微元分析法来求这块萝卜的体积。基本思路是： 用平行于YOZ平面的菜刀(如图 中的蓝色平面)，将萝卜切成许多 厚度为dx的薄片，先求出小薄片的体积，再把这许多小薄片的体 积，由a到b累积起来。 图9.3-3第九章第九章 重积分重积分 9. 3 9. 3 以x处的截面为底，厚度为dx的小薄片的微小体积是 将所有这种小薄片的微小体积，由a到b累积起来，即 截面为一曲边梯形，如图9.3-3中的蓝色截面，因而其面积可用 定积分表示，它的底是区间1(x),2(x)，曲边是f (x,y)(注意x固定 ，这是y 的一元函数)，因而截面积为 注意，计算这个积分时，x是固定的，被看作常数。这个积分 给出的是曲顶柱体在x处的截面面积。 第九章第九章 重积分重积分 9. 3 9. 3 此即为所求曲顶柱体的体积，也就是二重积分的值，即 这样，二重积分就化为先对y、后对x的两次定积分，通常称为累次积分。 式 ，也可写成 ， 这样写的好处是省了括号，但千万不要写成 第九章第九章 重积分重积分 9. 3 9. 3 小结：小结