数学欣赏

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1、SZUMathematicsMathematics AppreciationAppreciationhttp:/ 数学欣赏数学欣赏C数学之旅主讲：张文俊深圳大学数学学院2011年2月An Overview of Mathematics数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation 庞加莱说庞加莱说 如果我们想要预见数学的将来， 适当的途径是研究这门学科的历史和现状.数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation数学之旅 穿越时空数学，作为人类最早建立的

2、科学，如今根粗杆 壮，枝繁叶茂，已经形成一个庞大的学科体系. 数学研究领域不断扩大，数学研究方法不断创 新，数学研究内容不断深入，数学应用领域不断拓 宽。 回顾数学发展史可以看到，数学发展史是新思 想、新方法、新工具被创造的历史，是问题被解决 的历史，也是高级数学替代低级数学的历史. 数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation本章内容数学的分类1数学分支发展概观2数学形成与发展的因素3SZUSZU深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院从历史看数学1数学欣赏 Mathematics Appreciation

3、 数学欣赏 Mathematics Appreciation8v 纵向发展： 初等数学和古代数学； 变量数学； 近代数学； 现代数学。数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation9初等数学和古代数学：16世纪以前 古希腊时期建立的欧氏几何学； 古代中国、古印度和古巴比伦时期建立的 算术； 欧洲文艺复兴时期发展起来的代数方程等 。初等数学又叫常数数学。数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation10 变量数学：17-19世纪初起点：解析几何；标志：微

4、积分（数学分析）；特点：数形结合，引入了变量，可 以研究运动。数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation11 近代数学：19世纪主要特征： 分析的严密化; 代数的抽象化; 几何的非欧化。数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation12 现代数学：20世纪起点：1900年Hilbert提出的23 个数学问题；特点：学科分支增多，交叉增强( 如：代数拓扑、微分拓扑、代数几 何等）；基础：Cantor的集合论。 数学欣赏 Mathematics App

5、reciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation13v现代数学三大趋势： 交错发展、高度综合、逐步走向统一； 边缘、综合、交叉学科与日俱增； 数学表现形式、对象和方法日益抽象化 。数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation14v 现代数学六大特征： 从单变量到多变量，从低维到高维； 从线性到非线性； 从局部到整体，从简单到复杂； 从连续到间断，从稳定到分岔； 从精确到模糊； 计算机的应用。深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院从对象与方法看数学2数学欣赏 Mathematic

6、s Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation*16美是自然， 是一切事物 生存和发展 的本质特征 。SZUSZU数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation18v 横向分类： o基础数学（理论、纯粹数学）（三大分 支：代数、几何、分析）o应用数学o计算数学o概率统计o运筹与控制论 数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation19数学分支： 精确数学； 随机数学； 模糊数学； 可拓数学。自然社会现象： 确定

7、现象； 随机现象； 模糊现象； 可拓现象。深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院几何学通论1“几何学”就是人类文明对空间本质 的“认识论”；宇宙中的所有事物皆存在 于空间之中、发生于空间之内，并永远 受着空间本质的制约与蕴育；而空间既 完美又简朴的本质则是蕴育着宇宙万物 万象中至善至美、至精至简的根源。几何学几何学人类第一科学人类第一科学数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation22研究对象:诸如“几何物体”和图形的几何量 ，是空间形式的抽象化; 研究内容:各种几何量的关系与相互位置; 研究方法:实验方法

8、、思辨方法、解析方法.数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics A欧几里得几何学 在承认某些自明的公理 的前提下，按照严密的 演绎推理方法，一层一 层地建立起来的一套系 统严密的几何学知识体 系。数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation24解析几何 1637年，法国数学家笛卡尔引入了坐 标的观念，实现了数形结合，创立了解 析几何，使得人们可以用代数方法研究 几何问题，实现了数学的两大分支代数 与几何的联系。 两个重要观念：点、数联系 的坐标观念，曲线的方程表 示观念

9、。数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation25向量几何 也叫向量代数，该学科产生于十九世 纪中叶，是由德国数学家哈密尔顿（ W. R. Hamilton ,18051865）和格拉 斯曼（H. G. Grassmann，18091877 ）等创立的。向量几何是不依赖于坐 标系的解析几何，是坐标几何的返璞 归真和精益求精，它使得几何和代数 结合得更加真切自然、直截了当。数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics A分形几何 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特 （

10、B.B.Mandelbrot）在1975年首先提出的，被誉为大 自然的几何学。这是现代数学的一个新分支，其本质 是一种新的世界观和方法论。承认世界的局部可能在一定条件 下、一定过程中、在某一方面（ 形态，结构，信息，功能，时间 ，能量等）表现出与整体的相似 性；它承认空间维数的变化既可 以是离散的，也可以是连续的。深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院代数学大观2数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation28代数学是研究数的科学，起源于古代中国 和古埃及。早期的代数学其实是研究数的 运算的，因此叫做算术。

11、“代数学”一词源 自于拉丁文algebra （公元12世纪之后）， 但它又是从阿拉伯文“还原与对消”（al- jaber walmuqabala）（公元820年左右） 或“方程的科学”变化而来。数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics A代数学的符号化 第一阶段是文字代数学，其主要标志是，代数书 全部由文字表述。 第二阶段是简写代数学，其主要标志是，采用以 速记为目的的简写形式表示数量、关系与运算。 第三阶段是符号代数学。法国 数学家韦达（Viete, Francois. 15401603）对代数学符号 化的发展作出了重要贡献。数学欣赏 Ma

12、thematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation30初等代数学 初等代数是代数学的古典部分，它是随 着解方程与方程组而产生并发展起来的 ，是研究数字和文字的代数运算理论和 方法的科学，更确切的说，是研究实数 和复数，以及以它们为系数的多项式的 代数运算理论和方法的数学分支学科。数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation31初等代数的中心问题是研究方程或方程 组的解的存在性、解的个数、解的结构 问题，因而长期以来都把代数学理解成 方程的科学。数学欣赏 Mathema

13、tics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation32初等代数运算十条规则： 五条基本运算律（加法交换律、加法结合律、乘 法交换律、乘法结合律、分配律）； 两条等式基本性质（等式两边同时加上一个数， 等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等 式不变）； 三条指数律（同底数幂相乘，底数不变指数相加 ；指数的乘方等于底数不变指数相乘；积的乘方 等于乘方的积）。数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation33高等代数学 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称 ，现在大学里开设的高等代

14、数，一般包括 两部分：线性代数、多项式代数。数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation34线性代数的研究对象是线性方程组，研究 内容是线性方程组解的存在性、 解的个数、解的结构问题，研究 工具包括矩阵、行列式等。围绕 线性方程组的这些核心问题，线 性代数不仅要研究数，数的运算 ，还有矩阵、向量、向量空间的 运算以及变换等。数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation35多项式理论是以代数方程的根的计算和 分布作为中心问题的，也叫 做方程论。研究多

15、项式理论 ，主要在于探讨代数方程的 性质，从而寻找简易的解方 程的方法。深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院微积分大意3数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation37分析学是指以微积分学为基本内容的数 学分支的全称，包括微积分学、微 分方程、复变函数、实变函数、泛 函分析等。这里我们只介绍微积分 等几个基础分支学。数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathematics Appreciation 微积分学简单地来说，微积分学是微分学和积分学 的总称，其 研究对象是函数； 研究工具是极限； 研究内容包括函数的微 分、积分，以及联系微 分与积分的桥梁微 积分基本定理。深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院随机数学一瞥4数学欣赏 Mathematics Appreciation 数学欣赏 Mathemati