数学命题

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1、 42 数学命题n一、判断与命题n1判断n判断是对思维对象有所断定的一种思维形式。 这里所说的断定，就是“肯定”或“否定”事 物的某种性质或事物之间有某种关系。 如： 是无理数；它不是一位教师。n判断作为一种思维形式，具有两个基本的逻辑 特征：（1）必须有断定。凡判断不是肯定某 种事物的情况，就是否定某种情况。不 作肯定或否定的不是判断。如三角形 ABC是等腰三角形吗？雪是白色的吗？ 都不是判断。（2）必须有真假。如果一个判断符合 客观现实情况，那么这个判断是真实的 ；否则就是假的。例如，“1是质数” 就是一个假判断。2判断的种类判断可按不同标准进行分类，首先 按判断本身是否还包括其它判断，把

2、 一切判断分为简单判断和复合判断。简单判断是本身不再含有其它判断 的判断，在简单判断中，可按其判断 内容分为性质判断和关系判断 复合判断是本身还包含其它判 断的判断，在复合判断中，按照 组成复合判断的各简单判断之间 的结合情况如何，将其区分为负 判断、联言判断、选言判断、假 言判断等，我们这里不一一介绍 。3命题及其基本运算（1）命题的意义表达判断的陈述语句叫命题。在数学中 ，每一个数学判断的陈述语句，都称为数 学命题。数学命题往往用特有的数学语言 组合起来进行陈述。如：32； ABC是直角三角形。命题的基本特征是：要么是真，要么是假，不 能又真又假。如：x+2=5和x5不能判断真假 ，所以它

3、们不是命题。当命题是真命题时，我们称这个命 题的值为1，当命题为假时，我们 称命题的值为0。这就给命题赋予 了真值。命题可用字母A、B、 C或p、q、r等表示。（2）命题的基本运算所谓命题的基本运算，就是将命题用逻 辑联词联结起来，构建新的命题。命题 的基本运算包括以下几种情况：10 否定（非）给定命题p，在其前面加上“并非”两 字，就构成新命题“并非p”，叫做命 题p的否定，记作p，读作“非p”。p q pq1 1 11 0 00 1 10 0 1二、命题运算应用举例运用以上的五种逻辑联词及真值表 ，可以进行命题的多种复合运算。在 运算的过程中，还要应用逻辑运算律 ，这里不做介绍（可参阅有关

4、的逻辑 学文献）。这里介绍中学数学中关于 命题运算的应用。2合并命题中学数学教材中是把平行线的两个性质 定理分开来叙述的：“若两直线平行，则 同位角相等”；“若两直线平行，则内错 角相等”，为了简化叙述，可以把这两个 定理合并成一个，合并方法如下：设p：两直线平行；q1：同位角相等；q2：内错角相等。3逆命题的制作逆命题是相对于原命题而言的一种命题 形式，交换原命题的题设和结论后即得 逆命题。而当命题的条件和结论都是合 取式时，对等交换条件和结论分支命题 所得的新命题就不能称作逆命题，而应 称为偏逆命题。43 数学推理一、推理的意义数学中的推理是由一个或几个命题得到一个 新命题的思维形式。例如

5、：等腰三角形的两底角相等， 因为ABC是等腰三角形， 所以ABC两底角相等。 这是一个推理，是由、得出一个新命题 的推理。又如：（1）矩形的对角线相等，（2）正方形是矩形，所以（3）正方形对角线相等。也是一个推理。从以上的推理可看出，推理的结构是由前 提、结论和推理形式三部分组成。作为推 理出发点的命题，称为前提，如以上两个 推理“所以”前面的已知命题都是前提。 由前提派生得到的新命题，称为结论。以上推理中，“所以”后面的命题是结论 。由前提派生结论的方式，即前提与结论 之间的联系关系，称为推理形式。推理形 式是舍去具体的推理内容，由特定形式的 命题排列而成的，如上面两个例题中具有 共同的推理

6、形式：pq，spsq按推理中表现的思维进程看，有以下 三种情况的推理，从一般到特殊的推 理、从特殊到一般的推理、从特殊到 特殊的推理。由此可将推理分为演绎 推理、归纳推理和类比推理。三、推理的类型按照推理结果的确信程度的不同，用 二分法可以把推理分为两大类：论证 推理和似真推理（波利亚称其为合情 推理）。论证推理是当推理的前提为真时，结 论一定为真的推理。前提和结论的真 假关系是必然关系。论证推理是进行 证明必备的工具。似真推理是当推理的前提为真时，结 论可能是真也可能是假，前提和结论 的真假关系是或然关系。似真推理能 不断逼近结论，促使发现结论，不断 提高结论的信任度，但并未最后证明 结论。论证推理的主要类型有演绎推理和完 全归纳推理；似真推理的主要类型是 不完全归纳推理和类比推理。下面我 们来介绍这几种推理方法。