《合肥工业大学-高等数学-下-9.1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《合肥工业大学-高等数学-下-9.1（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节 多元函数的基本概念 一、平面点集 n维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性第九章 多元函数微分学点 P0 的去心邻域记为1. 邻域例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成点集称为点 P0 的邻域.一、平面点集 n维空间在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域平面上的方邻域为。可以互相包含.(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = ,则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点 ; 若对点 P 的任一邻域 U
2、(P) 既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的边界点 .的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 2. 区域若对任意给定的 ,邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 )(2) 聚点D 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E 边界 , 则称 E 为闭集； 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域; E 的边界点的全体
3、称为 E 的边界;(3) 开区域及闭区域例如，在平面上开区域闭区域 整个平面是最大的开域 , 也是最大的闭域； 点集 是开集，但非开区域 .o 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K ,则称 D 为有界域 , 界域 .否则称为无存在一圆盘,可覆盖整个区域,即为有界域 .3. n 维空间n 元有序数组的全体称为 n 维空间, 记作即n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标 .一个点, 当所有坐标称该元素为 中的零元,记作O .中点 a 的 邻域为二、多元函数的概念 引例: 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式定义1
4、. 设非空点集点集 D 称为函数的定义域 ;数集称为函数的值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数 ,记作例如, 二元函数定义域为圆域说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面 .三、多元函数的极限定义2. 设 n 元函数点 ,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A ,对一记作都有对任意正数 , 总存在正数 ,切例1 设求证：证:故总有要证 例2 设求证：证：故总有要证 若
5、当点不同值或有的极限不存在，解 设 沿直线 趋于点在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限不存则有k 值不同极限不同 !在 (0,0)点极限不存在 .以不同方式趋于在。例3 讨论函数函数趋于例4 求解这里函数的定义域为为的聚点。由积的极限运算法则，得例5 求而解 因则故仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. 二重极限不同. 如果它们都存在, 则三者相等。例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .四、 多元函数的连续性 定义3 . 设 n 元函数定义在 D 上,如果存在如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续.否则称为不连续, 此时称为间断点 .则称 n
6、 元函数连续, 例如, 函数在点(0 , 0) 极限不存在,故 ( 0, 0 )为其间断点. 又如, 函数在圆周 上间断.结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则* (4) f (P) 必在D 上一致连续 .在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 解 原式例5 求例6 求函数的连续域.解内容小结1. 区域邻域 :区域连通的开集2. 多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数有3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性1) 函数2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ;介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
