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1、 数与代数内容分析与建议北京市顺义区教育研究考试中心北京市顺义区教育研究考试中心 张秋爽张秋爽 标准（修订稿）的重大进展1：u基础知识u基本技能“双基”u基础知识u基本技能u基本思想u基本活动经验“四基”四基体现了“全面知识观”“显性”u基础知识u基本技能u基本思想u基本活动经验“四基”“隐性”数学的基本思想。 数学产生与发展所依赖的思想学习数学以后具有的思维能力抽象：把与数学有关的知识引入数学内部推理：促进数学内部的发展模型：沟通数学与外部世界的桥梁5 人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科； 通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以发展； 通过数学建模，把
2、数学应用到客观世界中，产生了巨大的效益，又反过来促进数学科学的发展。数学的抽象两个苹果、两匹马 2 2 是抽象了的，是符号，现实不存在； 两个苹果、两匹马是2的特例。两个苹果 + 两匹马 = ？ 2 + 2 = 4。 抽象三个层次：抓住事物特征、语言表达；抓住事物本质、符号表达；抓住事物关联、模型表达。3、4、5、6、7、8、9、10 数学是如何抽象的？分豆子与布鲁纳的认知理论实实物操作 表象操作 符号操作分豆子 脑脑中分豆子 算式运算（具体） （半具体、半抽象） （抽象）寻寻找规规律多元表征：动作表征表象表征符号表征动手操作：几何直观 空间观念 形象思维数学思想数学思想 处于“数学的基本思想
3、”下一层次的数学思想，还有很多。 数形结合、函数、方程、分类、转化等下一层次的数学思想由“数学抽象的思想”派生出来的：分类的思想，集合的思想，数形结合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对称的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等。由“数学推理的思想”派生出来的：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，转换化归的思想，联想类比的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等。12下一层次的数学思想由“数学建模的思想”派生出来的：简化的思想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，抽样统计的思想，等等。13下一层次的数学思想数学方法 在用数学思想解决具体问题
4、时，会逐渐形成程序化的操作，就构成了“数学方法”。 数学方法也是具有层次的，处于较高层次的可以称为“数学的基本方法”。14 数学的基本方法有：演绎推理的方法、合情推理的方法、变量替换的方法、等价变形的方法、分情况讨论的方法等。15分数意义；15乘一个数的积 下一层次的数学方法，还有很多。例如：分析法、综合法、穷举法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法、递推法、消元法、降幂法、换元法、配方法、列表法、图像法等。16数学方法与数学思想的区别 数学方法不同于数学思想。“数学思想”往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的；而“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体
5、的、程序的、技巧的。17数学方法与数学思想的区别 数学思想常常通过数学方法去体现；数学方法又常常反映了某种数学思想。数学思想是数学教学的核心和精髓，教师在讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想，让学生了解和体会数学思想，提高学生的数学素养。18基本活动经验 “活动”，既包括学生在课堂上学习数学时的探究性学习活动，也包括与数学课程相联系的学生实践活动；既包括生活、生产中实际进行的活动，也包括课程教学中特意设计的活动。“活动”是一个过程，因此也体现出，不但学习结果是课程目标，而且学习过程也是课程目标。19 提出让学生获得“数学活动经验”，还有一个重要目的，这就是培养学生在活动中从数学的角度进行思
6、考，直观地、合情地获得一些结果，因为这是数学创造的根本，是得到新结果的主要途径。数学活动经验并不仅仅是解题的经验，更加重要的是思维的经验，是在数学活动中思考的经验。20 学生形成智慧，不可能仅仅依靠掌握丰富的知识，一定还需要实践及在实践中取得经验。数学思想也不仅在探索推演中形成，还需要在数学活动经验的积累上形成。21基本的数学活动经验可以细化为下面两组，四种：直接的活动经验，间接的活动经验；教师设计的活动经验，学生思考的活动经验。22 直接的活动经验是与学生日常生活直接联系的数学活动中所获得的经验，如购买物品、校园设计等。23 而间接的活动经验是学生在教师创设的情景、构建的模型中所获得的数学经
7、验，如鸡兔同笼、顺水行舟等。24 教师设计的活动经验是学生从教师特意设计的数学活动中所获得的经验，如随机摸球、地面拼图等。2526 学生思考的活动经验是通过分析、归纳等思 考获得的数学经验，如预测结果、探究成因等。u分析问题能力u解决问题能力“两能”u发现问题能力u提出问题能力u分析问题能力u解决问题能力“四能”标准（修订稿）的重大进展2：发现和提出、分析和解决问题 这也体现了“从头到尾”思考问题的理念。 启发学生思考的最好的办法是教师与学生一起思考，一起发现和提出问题，一起分析和解决问题。 教师要能暴露自己的思考路径，教学中为什么要提出这些问题供大家思考，遇到情境可以从哪些方面提出问题，遇到
8、这些问题后应该从哪些角度来分析，解决了这个问题又可以提出哪些新的问题。此次标准提出了10个核心概念。这就是：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。与实验稿相比，在这10个核心概念中，有一些是新增加的：运算能力、模型思想、几何直观、创新意识；有一些是名称或内涵发生较大变化的：数感、符号意识、数据分析观念；有一些是保持了原有名称，基本保持了原有内涵：空间观念、推理能力、应用意识。这10个核心概念可以分成三层。第一层，主要体现在某一内容领域的核心概念。数感、符号意识、运算能力主要体现在数与代数领域，空间观念主要体现在图形与几何领域，数据分
9、析观念主要体现在统计与概率领域；第二层，体现在不同内容领域的核心概念，包括几何直观、推理能力和模型思想；第三层，超越课程内容，整个小学数学课程都应特别注重培养学生的应用意识和创新意识。一、数与代数的重要地位数量上占比例最大；学习其他内容的重要基础；与整个数学学习有密切关系；可以从以下三个方面理解1. 数学自身的特征。数学是研究数量关系和空间形式的科学。数与代数就是研究数与数量关系，是数学学科的重要组成部分。从数的形成与发展，数量关系的建立与扩展的过程，都反映了数学学科本身的发展。因此，这部分内容对于数学学科是不可缺少的。2. 学生学习数学是从建立数概念开始的。数与代数内容的理解和掌握是提高学生
10、的数学素养重要组成部分。3. 数与代数与其他数学内容以及其他学科的内容有密切关系。数与代数内容在小学数学学习阶段有着这样的重要作用，那么标准中数与代数内容是如何分布的，有什么特点？数与代数部分第一学段 数的认识数的计算常见的量探索规律第二学段 数的认识数的计算式与方程正比例、反比例探索规律第三学段：数与式（有理数、实数、代数式、整式与分式）方程与不等式（方程和方程组、不等式与不等式组）函数（函数、一次函数、反比例函数、二次函数）内容包括：数的概念、数的运算、数量的估计；字母表示数，代数式及其运算； 方程、方程组、不等式，函数等数与代数学习内容的主线是：从数及数的运算到代数式及其运算，再到方程和
11、解方程、函数和。在数的认识中，要理解从数量抽象出数，数的扩充；体现了两个抽象：表示方法的抽象和运算的逐步抽象。 总体上是这条主线，但在学生学习的过程中，几部分不是线性排列的，不是割裂的。比如，小学是以数的运算为主，但在第二学段中也有正反比例的初步学习。本质上从两个角度理解：第一，从数的扩充角度，从常量到变量；第二，从关系的角度，从数量关系到等量、不等、变化关系。重视数与代数内容的教育价值，认识到数、符号是刻画数量关系的重要语言，方程、不等式与函数是刻画数量关系的数学模型，数学是解决实际问题和进行交流的重要工具；通过对数量关系及其变化规律的探索，建立数和数集的概念，推导数学公式，布列方程并求解，
12、揭示变量间的函数关系等数学的思维活动，逐步提高提出问题和发现问题，分析问题和解决问题的能力；认识到在数与代数的知识中所存在的大量的对立和统一的素材 。小学生学习数学是从认数开始的。数与代数的内容贯穿小学数学学习的始终。每一个学段，每一个学期的学习都涉及这方面的内容。标准在两个学段都规定的数与代数的相关内容。具体内容分布如下表：第一学段第二学段数的认识79 数的运算810 常见的量5式与方程4正比例、反比例4探索规律11表中数字表示标准中具体课程内容的条目上表展示了第一、二学段数与代数的基本内容。数的认识、数的运算和探索规律，贯穿整个第一、二学段；常见的量的学习主要集中在第一学段；第二学段在学习
13、数的认识和运算的基础上，进一步学习式与方程（代数的初步），正比例、反比例（函数的渗透）。1.如何建立“数”的概念？2.如何处理运算教学中的算理与算法的关 系？3.如何落实新课标对估算的要求？4.如何依托现实情境帮助学生体现和理解常见的量?5.如何在方程教学中帮助学生经历从算数 思维向代数思维过渡？6.如何在正反比例教学中体现函数思想？7.如何处理好“问题解决”教学中生活情 境具体和数量关系抽象的关系？8.如何在教学中凸显问题解决策略数的认识：一上：20以内数的认识（含0的认识） 一下：100以内数的认识 二下：万以内数的认识 三上：分数的初步认识 三下：小数的初步认识 四上：大数的认识（亿以内数的认识 ） 四下：小数的意义和性质 五下：分数的意义和性质 六下：负数的认识01“自左向右” 数级拓展“向微观” 数域拓展改变方向， “自右向左”49数系的扩充数系的扩充自然数整数有理数无理数实数NZQR用图形表示包含关系用图形表示包含关系 ：关于数系扩充为了减法的封闭出现了负数；为了除法的封闭出现了分数；为了开方的封闭出现了无理数；
