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1、矩估计的基本步骤设待估计的参数为 设总体的r阶矩(r=1, 2, k)存在，且(1) 先找总体矩与参数之间的关系样本 X1, X2, Xn 的 r阶矩为令(2) 用样本矩替换总体矩, 得到关于估计量的方程(组). 含 的方程组.(3) 解方程组, 得到k个参数的矩估计量未知参数1, ,k的矩估计量代入一组样本值得 k 个数:未知参数1, ,k的矩估计值 X1, X2 , , Xn 是独立同分布的, X1k, X2k, , Xnk 也是独立同分布的. 于是有 E(X1k)=E(X2k)=E(Xnk)= E(Xk)=k . 根据辛钦大数定律, 样本k阶矩Ak依概率收敛于总体k 阶矩k ,即矩估计法
2、的理论依据: 大数定律再由依概率收敛的性质知, 样本k阶矩的函数依概率收敛于总体k阶矩的函数.(函数连续)参数的矩估计量依概率收敛于, 即 样本矩的函数总体矩的函数最大似然估计法的思想源于德国数学家高斯(Gauss) 在1821年提出的误差理论 . 然而，这个方法常归功于英 国统计学家费歇尔(R.A.Fisher) .他在1922年将该方法作 为估计方法提出，并首先研究了这种方法的一些性质 .2. 最大似然估计 (Maximum Likelihood Estimate)GaussFisher最大似然估计法的基本思想 引例：某位同学与一位猎人 一起外出打猎 .一只野兔从 前方窜过 .只听一声枪响
3、， 野兔应声倒下 .如果要你推测，是谁打中的, 你会如何想呢?只发一枪便打中, 猎人命中的概率一般大于这位同学 命中的概率. 看来这一枪是猎人射中的可能性很大. 思想：一次试验就出现的事件有较大的概率. 例5 设总体 X 服从0-1分布, 且P X = 1 = p (00为未知参数. 求 的最大似然估计值. 解析最大似然估计的性质该性质也称作最大似然估计的不变性.若 是未知参数 的最大似然估计， g()是的严格单调函数，则g()的最大似然估计为g( ).如例7中,量量例11 设总体为样本值, 求 a 的最大似然估计.解析 首先找到a与 的关系.由知查表得由例7得到则由最大似然估计的不变性,得a
4、的最大似然估计量和估计值分别为【评注】求总体分布中的未知参数的最大似然估计, 必须知道总体的分布, 从而写出样本似然函数(或对数 似然函数), 并求其最大值点是解题的关键. 另外, 最大似然估计也可能不存在, 也可能不唯一.优点: 充分利用总体分布的信息, 克服了矩估计法的 某些不足.作业: P173 习题 2, 3, 4(1), 6, 7, 8(1).从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不同的估 计方法求出的估计量可能不相同. 很明显, 原则上 任何统计量都可以作为未知参数的估计量.问题 (1) 对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2) 评价估计量的标准是什么?7.3 估计量的评选标
5、准常用标准无偏性相合性有效性问题的提出估计量 的观察或试验的结果，估计值可能较真实的参数值偏大 或偏小，而一个好的估计量不应总是偏大或偏小，在多 次试验中所得的估计量的平均值应与真实参数值吻合， 这就是无偏性所要求的. 是一个随机变量，对一次具体一、无偏性定义例1证特别的,证(这种方法称为无偏化).例3证由以上两例可知, 一个参数可以有不同的无偏估计量.思考:当 是 的无偏估计时, 是否也为的无偏估计?答: 不一定. 例如:样本均值 是总体均值 的无偏估计, 但 不是 的无偏估计.即由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏 离程度, 所以无偏估计以方差小者为好.二、有效性定义 设 都是总体参数
6、的无偏估计量, 且 则称 比 更有效.证为最小方差(或最佳)无偏估计量.在 的所有无偏估计量中，若是具有最小方差的无偏 估计量，则称【注】例4例如定义三、相合性(一致性)关于相合性的几点说明相合性是对估计量的一个基本要求, 不具 备相合性的估计量是不予以考虑的.矩估计量具有相合性, 而最大似然估计量在 一定条件下也具有相合性. 估计量的相合性只有当样本容量相当大时, 才能显示出优越性, 这在实际中往往难以做到, 因此,在实际中往往使用无偏性和有效性这两个 标准.作业: P174 习题 1014.例 设总体X的概率密度为其中 是未知参数.为来自总体X的简单随机样本, 记 N 为样本值 中小于1的个数. 求的最大似然估计.解例证
