理想流体的旋涡运动

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1、什么是无旋流动和有旋流动什么是流线第四章 理想流体的旋涡运动流体的旋涡运动是自然界普遍存在的一种流动现象。例如 台风、 龙卷风依然在破坏亚洲、澳洲和美洲的海岸，每年吞噬这成千上 万人的生命。由于它的特殊性，人们对其认识在早期十分模糊， 并且带上一种神秘的色彩。百慕大三角区的旋涡更使人神秘莫测， 另外旋涡还伴随有飞机、舰船等的机械能损失。另一方面，旋涡有利于人类。现代生物力学证实主动脉窦内血液 流动形成的蜗旋使主动脉瓣在射血结束时关闭，保证了人体血液 循环的正常运行；利于三角翼形成的涡旋可增加机翼的升力；在 水坝泄水口，为保证坝基不被急泄而下的水流冲坏，采用消能设备 人为制造涡旋以消耗水流动能。

2、涡旋运动的一些基本概念和运动学特性(a)图是圆筒中水随圆筒一起绕轴转动形成的涡流，此时水的运动 如同刚体一样转动，流体质点速度和离轴距离成正比(b)图是水中插一个旋转的直圆柱面形成的涡流注意，自由面呈 现抛物曲面形状(c)图是面浆中插一个旋转直圆柱形成的涡流，有趣的是面浆会顺 着圆柱向上“爬”(d) 图是流体以一定流速绕过圆柱时，圆柱后面将出现两列交替 排列的涡，称为卡门涡街e) 图是柱状涡，旋风就是这一类涡流，通常直径10m，面高达1000m(f) 图是碟状涡，海洋和大气层中很多为此类涡流和柱状涡相 反，其直径达1000km，而高度约10km(g) 图是人体主动脉窦内血液在主动脉辩开启时所形

3、成的涡流， 正是这个涡的作用使主动脉瓣在射血结束时关闭涡的这个作用 早已由达 芬奇指出(h) 图是银河系的涡状结构，天文测旦证实了这样的结构此类 结构的星系并不是唯一的，宇宙中成千成万地存在着无旋流动有旋流动在图(a)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转 ，故它是无旋流动；在图(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋 转，故它是有旋流动。在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕 水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个 儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个 流体

4、微团都满足流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋 转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微 团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。 如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转 运动，则称为无旋流动。 这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流 动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决 定，而与流体微团的运动轨迹无关， 4-1 涡量场以及旋涡的运动学特性 速度的旋度称为流场的涡量 是矢量流场，称为涡量场 1 涡线、涡管和涡束 1843年H.L.F赫姆霍茨 1. 涡线 定义: 某一瞬时漩涡场中的一条曲线，曲线上任意一点的 切线方向与该点流体

5、微团的旋转角速度一致。 由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度为取过该点涡线上的微元矢量为根据定义，这两个矢量方向一致，矢量积为0，即这就是涡线的微分方程。涡面 在涡量场中任取一条非涡线的曲线，过该曲线的每一点 作同一时刻的涡线，这些涡线将构成一个曲面称作涡面涡管定义: 某一瞬时，在漩涡场中任取一封闭曲线c(不是涡线)，通过曲 线上每一点作涡线，这些涡线形成封闭的管形曲面。如果曲线c构成的是微小截面，那么该涡管称为微元涡管。横断涡 管并与其中所有涡线垂直的断面称为涡管断面，在微小断面上， 各点的旋转角速度相同。n2 涡通量和速度环量对有限面积，则通过这一面积的涡通量定义为速度环

6、量 定义: 某一瞬时在流场中取任意闭曲线 ， 在线上取一微元线段 ，速度 在 切线上 的分量沿闭曲线 的线积分，即为沿该闭合曲线的速度环量。开尔文1869年速度环量是标量，有正负号，规定沿曲线逆时针绕行的方向 为正方向，沿曲线顺时针绕行的方向为负方向。 速度环量是旋涡强度的量度，通常用来描述漩涡场。证：流体以等速度v0水平方向流动，先求沿图所示的矩形封闭曲 线的速度环量，其次求沿图所示圆周线的速度环量同样可证，均匀流中沿任何其他封闭曲线的速度环量等于零。例题1 证明均匀流的速度环量等于零 。实际上，速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线K运动的总的趋 势的大小，或者说所反映的是流体的有旋性。由

7、Stokes 定理涡通量J与速度环量 虽然都能用来表征旋涡的特性，但是在 某些时况下，利用速度环量往往更为方便，这是因为速度环量是 线积分，被积函数是速度本身；而涡通量则是面积分，被积函数 是速度的偏导数再考虑例1 3涡管强度守恒定理内容：在同一时刻、同一涡管的各个截面上，涡通量（涡管 强度）都是相同的称为该瞬时涡管的强度若 A为某瞬时涡管的某一横截面，则涡通量由 Gauss定理对于微元涡管近似认为由涡管强度守恒定理（1）对于同一微元涡管，截面越小的地方，涡量越大（2）涡管截面不可能收缩到零 (?) 。涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈； 涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边

8、壁上（固体 壁面或自由面）。4-2 Kelvin速度环量定理 涡管强度守恒定理指出：同一时刻涡管不同截面的涡通量是相同 的，然而Stokes定理又指出任一封闭曲线上的速度环量等于以该 曲线为周界的任意曲面的涡通量。由此，我们知道，同一时刻绕 涡管的任意封闭曲线的速度环量相等但是，不同时刻的情况如 何呢?下面将讨论这个问题1 速度环量随时间的变化率 首先引出流体线(也称为时间线)的概念。（与迹线相关） 流体线：指在流场中任意指定的一段线，该线段在运动过程中始 终是由同样的流体质点所组成。 (体系)封闭流体线速度环量对时间的变化率等于此封闭流体线的加速度环量Kelvin方程 t时刻时刻流体线微元流

9、体线微元t 时刻流体线微元t + 时刻流体线微元2 Kelvin环量定理 正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何 封闭流体线的速度环量不随时间而变化，即体力有势流体是正压的对于密度函数仅与压力有关的理想流体，当体力有势时，沿任 何封闭流体线的速度环量在流体运动的全部时间内将保持不变由 Kelvin方程1 涡线、涡管和涡束2 涡通量和速度环量的关系3涡管强度守恒定理4 Kelvin定理 4-3 Lagrange定理 在有势的质量力作用下，正压理想流体中，在某一时刻流体内的 某一部分内没有旋涡，则在以前或以后的时间内，该部分流体内 也不会有旋涡。 证明：由条件知，在某一时刻（可认为是初始时刻）

10、，在被研 究的那部分流体中，处处有 ，则由Stokes公式知 由 Kelvin定理，沿上述任意封闭流体线的速度环量，在以前或以 后的时间内将保持为零A是以封闭流体线L为边界的流体面再利用由Stokes公式，对于完全位于所讨论的那部分流体中的任 何流体曲面A而言，在运动过程中，始终有由于曲面A选取的任意性，故要使上式成立，则必须处处有 2 亥姆霍兹(Helmholtz ）方程 理想流体运动中涡量 必须满足的方程 。公式11在有势的质量力作用下，正压理想流体亥姆霍兹方程它为动力学方程。优点是不出现压力、体力和密度，而只包含速度 和涡量 3 关于旋涡的形成和消失由Lagrange定理可知，当流体满足

11、下述三个条件：(1)流体是理想 的：(2)流场是正压的，(3)体力是有势的时，若流体在某时刻的运 动有旋，则将永远有旋；若流体某时刻的运动无旋，则将永远无 旋即流场中的旋涡既不会产生也不会消失因此，Lagrange定 理是判断流场是否有旋的重要定理 （1）无穷远均匀来流绕流物体的流场是无旋流场； （2）物体在静止流场中的运动所造成的流场也是无旋流场等等 但要特别指出的是，如果上述三个条件中有一个条件得不到满足 旋涡就既可以产生，也可以消失这说明等压面与等密度 面处处重合在实际流体的流场中，开始并不存在旋涡，只是流体绕过物体或 流体流经特变的边界时才产生旋涡。这表明，旋涡既能在流体中 产生也会在

12、流体中消失。粘性是旋涡产生和消失的根本原因。 流线不能突然折转，因而在图的物体尾部，必然有一部分流体不能 参与主流方向的运动，而被主流带动产生涡旋这样就消耗了主流的 能量，或者增大了运动物体的阻力。如果将物体平直的尾部改成圆 滑的“流线型”形状，则可以减小尾部的涡旋，改善运动物体的动力 性能，所谓“流线型”就是适应流线不能突然折转而采取的减少阻力 的措施。在局部装置处经常出现涡旋区和速度的重新分布。涡旋区中，流体不规则地旋转、碰撞、回流，往往给主流运 动造成巨大的阻碍，消耗主流运动的能量，导致压强、水头、能 量的降低，这种涡旋区的存在是局部阻力的普遍现象。1涡线保持定理 在有势的质量力作用下，

13、正压理想流体中，在某一时刻构成涡面、 涡线或涡管的流体质点，在运动的全部时间内将仍然构成涡面、 涡线或涡管 （正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永 远保持为由相同流体质点组成的涡管。）4-4 涡线及涡管强度保持定理 （亥姆霍兹旋涡定理）在初始时刻流体涡面 上，任取一个封闭流体线L为周界的流 体曲面 A，依据涡面的定义和Stokes公式 考虑以后任意时刻 ,由 Stokes公式首先证明涡面的保持性：在初始时刻组成涡面的流体质点，在以 后任一时刻也永远组成涡面因为周线 可取任意小，而且它可位于 面上的任意位置，因此 在 面上任一点都应有即 为涡面涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。涡面

14、永远保持为由相同流体质点组成的涡面。下面证明涡线保持定理在初始时刻取一涡线 ，通过 作两个相交的涡面 与 以后任一时刻由涡面保持定理 都是涡面所以 是涡线 流体质点冻结在涡线上随涡线一起运动。2 涡管强度保持定理 在有势的质量力作用下，正压理想流体中任何涡管的强度不随时 间而变化，永远保持定值。由Kelvin定理，沿上述封闭流体周线的速度环量在运动的全部时间 内保持不变再由涡管表面保持性，涡管强度在运动中永远保持不变涡管强度守恒定理 ？ 例 在理想、不可压缩流体的定常流动中，若体力有势，试 证明：（1） 对于平面流动，沿流线涡量保持不变（2） 对于 的轴对称流动， 沿流线保持不变证明：对于平面

15、流动，存在在流动平面（xy）上，任取一小流管（宽度为一个单位的流层）在流管中做面积为 的微元涡管，根据涡管强度保持定理12xy根据连续性方程 因为流体不可压缩 所以 沿流线 沿流线涡量 总与z轴平行，且数值不变。所以涡量 沿流线保持不变（2）对于 的轴对称流动，存在 因此r1xr在流管中做面积为 的微元涡管，根据涡管强度保持定理对于不可压缩流体，根据质量守恒原理，组成上述环形涡管的流 体质量应守恒 r24-5 旋涡的形成 形成旋涡的原因可能是以下三个中的一个：（1）流体是非理想的 （2）流体是非正压的 （3）体力是无势的1 流体是非正压时旋涡的形成仍考虑 流体是理想的，体力是有势的由Kelvin方程由此得比容为了阐明上述方程右端项放入意义，下面引进等压等容管概念p=常量称为等压面 =常量称为等容面对于正压情况， 等压面和等容面是重合的对封闭流线L但对于非正压情况，等压面和等容面彼此相交的作一系列单位间距的等压面和等容面, 将流体空间分为一系列管子,称为 单位等压-等容管在AD、BC上，p恒定， dp=0 在AB、DC上， 恒定当周线L