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1、第一节 数列极限的定义和性质 一、数列极限的定义例如注意 ：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取2.数列是整标函数问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定?问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意 ：几何解释:其中例1证推论 ：证明证:欲使只要即取则当时, 就有故也可由N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明: 取于是例2. 已知例3证例4证例5证令则所以取二、数列极限的性质1、收敛数列的有界性例如,有界;无界定理1 收敛的数列必定有界.证由定义,推论 无界数列必定发散.
2、注意：有界性是数列收敛的必要条件, 而非充分 条件.则有例6证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.2、收敛数列的唯一性定理2 每个收敛的数列只有一个极限.证由定义 ,故收敛数列极限唯一.若且时, 有证:对 a 0 ,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)3、收敛数列的保号性定理34、子数列的收敛性注意：例如，定理4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限 相同证由定理4 可知 ,若一个数列存在发散的子数列或者存在两个收敛于不同极限的子数列,例如， 发散 !则该数列说明: 一定发散 .小结有界性、唯一性、保号性、子数列的收敛性.1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:练 习 题
