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1、专题八 解析几何解答题的解法v第二部分考题剖析 试题特点 0316解析几何解答题的解法应试策略 071.近三年高考各试卷解析几何考查情况统计2008年高考各地的16套试卷中，每套试卷均有1道解析几何解答题试题，涉及椭圆的有9道，涉及双曲线的有2道，涉及抛物线的有3道，涉及直线与圆的有3道，涉及线性规划的有1道.其中，求最值的有4道，求参数的取值范围的有4道，求轨迹方程的有5道，和向量综合的有7道，探索性的问题有5道.2009年高考各地的18套试卷里，每套都有1道解答试题，涉及椭圆的有9道，抛物线的有4道，双曲线的有5道.其中求动点的轨迹，求参数的取值范围是热门话题.重庆的解析几何、数列、不等式
2、证明相结合的试题比较独特.试题特点解析几何解答题的解法2010年高考各地的19套试卷中，每套都有1道解答题，椭圆的有10道，双曲线的有2道，抛物线的5道，直线与圆的有2道,涉及到圆锥曲线中的最值问题、轨迹问题、中点弦问题、存在性问题的探讨，以及定点定值问题的探讨等.解析几何解答试题热点的题型是求参数范围或求最值的综合性问题，探求动点的轨迹问题，有关定值、定点等的证明问题，与向量综合的探索性问题等.试题特点解析几何解答题的解法2.主要特点解析几何虽然内容庞杂，但基本问题却只有几个.如求直线与圆锥曲线的方程；求动点的轨迹或轨迹方程；求特定对象的值；求变量的取值范围或最值；不等关系的判定与证明；圆锥
3、曲线有关性质的探求与证明等.对各类问题，学生应从理论上掌握几种基本方法，使之在实际应用中有法可依，克服解题的盲目性.如“求变量的取值范围”，可指导学生掌握三种方法：几何法（数形结合），函数法和不等式法.试题特点解析几何解答题的解法从宏观上把握解决直线与圆锥曲线问题的解题要点，能帮助学生易于找到解题切入点，优化解题过程，常用的解题策略有：建立适当的平面直角坐标系；设而不求，变式消元；利用韦达定理沟通坐标与参数的关系；发掘平面几何性质，简化代数运算；用函数与方程思想沟通等与不等的关系；注意对特殊情形的检验和补充；充分利用向量的工具作用；注意运算的可行性分析，等等运算是解析几何的瓶颈，它严重制约考生
4、得分的高低，甚至形成心理障碍.教学中要指导学生注重算理、算法，细化运算过程，转化相关条件，回避非必求量，注意整体代换等运算技能，从能力的角度提高对运算的认识，反思运算失误的经验教训，不断提高运算水平.试题特点解析几何解答题的解法应 试 策 略1.突出解析几何的基本思想解析几何的实质是用代数方法研究几何问题，通过曲线的方程研究曲线的性质，因此要掌握求曲线方程的思路和方法，它是解析几何的核心之一.求曲线的方程的常用方法有两类： 一类是曲线形状明确，方程形式已知(如直线、圆、圆锥曲线的标准方程等)，常用待定系数法求方程.另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般采用以下方法：应试策略解析几何
5、解答题的解法（1）直译法：将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式.（2）代入法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标（x,y）表示出已知动点的坐标，然后代入已知的曲线方程.（3）参数法：通过一个（或多个）中间变量的引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消去参数得坐标的直接关系便是普通方程. （4）交轨法：动点是两条动曲线的交点构成的，由x,y满足的两个动曲线方程中消去参数，可得所求方程.故交轨法也属参数法.应试策略解析几何解答题的解法2.熟练掌握直线、圆及圆锥曲线的基本知识(1)直线和圆直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向.需要注意的
6、是：()倾斜角的范围是：00)恒有公共点.（）求双曲线C的离心率e的取值范围；（）若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足 ，求双曲线C的方程.解析（）联立 ，得b2x22(xm)22b2=0(b22)x24mx2(m2b2)=0 当b2=2，m=0时，直线与双曲线无交点，矛盾b22,e 直线与双曲线恒有交点，=16m28(b22)(m2b2)0恒成立b22m2 ， mR 解析几何解答题的解法考题剖析（）F(c,0)，则直线l的方程y=xc. 设P（x1,y1）,Q(x2,y2)联立得(b22)y22cb2yb2c22b2=0 y1= y2 整理得： 解析几何解答题的解法
7、b20且c22=b2 b2=7所求的双曲线方程为考题剖析点评 由于直线与双曲线恒有公共点，可以列出关于字母b的一个不等式（判别式），从而可以求出双曲线离心率的取值范围，解决第二问的关键是用好 这个条件.解析几何解答题的解法考题剖析2在直角坐标平面中，ABC的两个顶点为A（0，1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足 = 0, ,（1）求顶点C的轨迹E的方程；（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（ , 0） ，已知 = 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.解析几何解答题的解法考题剖析解析（1）设C ( x , y )， 由知 , G为ABC的重心， 由知M是ABC的外
8、心，M在x轴上由知M（ ，0），由 即： 得 化简整理得： y2=1（x0）解析几何解答题的解法考题剖析（2）F（ ，0）恰为 y2=1的右焦点设PQ的斜率为k且k0，则直线PQ的方程为y = k ( x )由 设P(x1,y1)，Q(x2 ,y2 )则x1x2= 则|PQ|=解析几何解答题的解法RNPQ,把k换成 S = | PQ | | RN | S0得4m4，且m0，点M到 AB的距离为d=设MAB的面积为S.当m=2 时，得Smax=2.点评 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、直线与方程的位置关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考察推理及运算能力.解析几何解答题的解法
9、4.飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6 km,C在B的北偏东30，相距4 km,P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4 s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1 km/s.（1）求A、C两个救援中心的距离；（2）求在A处发现P的方向角；（3）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论. 考题剖析解析几何解答题的解法考题剖析解析（1）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面
10、直角坐标系，则A(3，0)，B(3，0)，C(5，2 ),km即A、C两个救援中心的距离为 km （2）|PC|=|PB|，P在BC线段的垂直平分线上 又|PB|PA|=4，P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且|AB|=6双曲线方程为 =1(x0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1.（1）求抛物线C的方程；（2）若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程；（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正
11、四棱锥的体积”.求出体积 后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为 ，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为 ，求所有侧面面积之和的最小值”. 解析几何解答题的解法现有正确命题：过点A( , 0 )的直线交抛物线C：y2=2px(p0)于P、Q 两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过焦点F.试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.考题剖析解析（1）y2=4x（2）设N ( ,t)（t0），则M(t2,2t)，F(1,0).因为M、F、N共线，则有kFM=kNF，所以 ，解得t= ， 所以k=因而，直线MN的方程是y=2 (x1).解析几何解
12、答题的解法（3）“逆向问题”一：已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A( ,0).考题剖析证明：设过F的直线为y=k(x )，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则R(x1,y1)由 得k2x2(pk22p)x p2k2=0，所以x1x2= ，所以直线RQ必过焦点A.解析几何解答题的解法过点A( ,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，FP与抛物线交于另一点R，则RQ垂直于x轴.已知抛物线C：y2=2px(p0)，过点B(m,0 )（m0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(m,0).“逆向问题”二：已知椭圆C： =1的焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，过F2的直线交椭圆C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A( , 0 ).考题剖析解析几何解答题的解法“逆向问题”三：已知双曲线C： =1的焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，过F2的直线交双曲线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A( , 0).考题剖析点评现在学习越来越主张自主学习，创新学习，本题是一个开放性十足的题，首先题目给出了“逆向”问题这个概念要求在自学的基础上进行解答.要求在平时就注意这方面的问题.解析几何解答题的解法
