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1、5 算术基本定理整数分解唯一性定理也称算术基本定理, 在给出并证明该定理前, 先介绍预备定理.定理 若p为素数, 则a不能被p整除当且仅当:(p,a)=1Date定理1设a1,a2,an都是正整数,且p是素数. 若p|a1a2an,则至少有一个ar, 使得p|ar, 其中1rn.证明 假设 ai不能被p整除, 1in. 从p是一素数和定理得到(p,a1)=(p,a2)=(p,an)=1. 所以由定理5推论得到(p,a1a2an)=1, 这与题设p|a1a2an矛盾, 故必有一ar, 使得p|ar, 其中1rn.Date推论设p1,p2,pn和p都是素数, n2. 若p|p1p2pn, 则至少有
2、一个pr, 使得p=pr.证明 由p| p1p2pn和定理1知, 至少存在一个pr, 使得p|pr. 由于pr是素数, 故它只有二个正因数1和pr. 由p1和p| pr, 所以: p= pr.Date定理2 (整数分解唯一性定理)每个大于1的正整数a均可分解成有限个素数 之积, 并且若不计素因数的次序, 其分解是唯 一的. 证明 先证分解式的存在性. 唯一性. 当a=2时, 分解式显然是唯一的. 现设 比a小的正整数其分解式均是唯一的. 考虑正 整数 a, 假设 a有两个分解式 a=plp2pk和 a=q1q2ql, 其中pl,p2,pk和q1,q2,ql都是素 数.Date于是p1| q1q
3、2ql , 根据定理1知必有一qi, , 使得p1|qi，不妨令i=1, 即p1|q1, 显然p1=q1. 令a=a/p1,则a=p2p3pk, aq2q2ql. 若a=1, 则a= p1=q1,即a的分解式唯一. 若a1, 注意到a0(1 j s),并且n=a1+a2+as.证明：n!/a1!a2! as!是整数.Date例5设n是正整数，1 k n 1，则N (3)若n是素数，则n ，1 k n 1.证明 由定理2，对于任意的素数p，整数n!，k!与(n k)!的标准分解式中所含的p的指数分别是利用例4可知Date因此 是整数。若n是素数，则对于1 k n 1，有(n, k!) = 1，(n, (n k)!) = 1 (n, k!(n k)!) = 1，由此及 N，推出k!(n k)!(n 1)!，从而n .证毕.Date
