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1、第三节 曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分 第八章 定义: 设为光滑曲面,“乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分其中 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 在曲面上对面积函数, 叫做积分曲面.则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性 .则有 线性性质.在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面定理: 设有光滑曲面在 上连续,存在, 且有二、对面
2、积的曲面积分的计算法 则曲面积分说明:可有类似的公式.如果曲面方程为说明 （1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影， 曲面积分化为二重积分”。 “一代”将 代入被积函数 ，得 ； “二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 如 ，则“三投影”认清 在 平面上的投影区域 ， 二重积分是在区域上 进行的。 （2）如 ，此时投影区域 ；如 ，此时投影区域为 。 例1. 计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:例2解例3. 计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面. 解:设上的部分, 则与原式 = 分别表示 在平面 例4 . 计算 ，其中 ： 被柱面 割下的有限部分 解： a2aOyx解：关于xOy平面对称，所以 关于zOx平面对称，所以 ，所以 例5 . 求 例6. 设计算解: 锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为则 例7.计算其中是球面利用对称性可知解: 显然球心为半径为利用重心公式
