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1、 空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）一、二体问题 二、中心引力场中的运动 第四课 空间飞行器轨道动力学（中 ）空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）空间有无数个天体，它们之间都有引力作用，如果精确地分析就需要都考虑，但是为了使问题变得 简单，仅需考虑主要的引力作用，将其转化成二体 问题，其他天体作用看作摄动。二体问题: 只考虑一个小质量天体和大质量天体两天体之间的引力，而忽略较远离的天体的引力作用。如人造 地球卫星，只考虑卫星和地球的引力作用下的运动 。一、二体问题 空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）图4.1 二体问题示意图对
2、于图示二体问题，在地心赤道惯性坐标系 中，设质点质量分别为 ， ；向径分别为 ， ， ， ；质点上的万有引力分别为 ， 。航天器在近地轨道运行时忽略月球和其他星体的引力作 用时可以按二体问题处理。 l 二体问题轨道运动 基本方程空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）图4.1 二体问题示意图根据质心定理(4.1) 及(4.2)(4.3)(4.4)联立方程(4.1)及(4.2)可得空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）图4.1 二体问题示意图(4.5)在m1引力作用下的航天器 m2的运动(4.6)在航天器m2引力作用下的质 点 m1 的运动(4.7)对于二体
3、问题，作用在m1和 m2 上的力只有万有引力，它们大小相等方向相反，即空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）将方程(4.3)和(4.4)带入方程(4.5)和(4.6)， 再利用(4.7)，可得(4.8)(4.9)由方程(4.8)可得空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）方程(4.8)只有在 或 时才能成立。结论：两体运动中，系统质心的运动速度为常量，不做加速运动。或者说，惯性空间两体相互作用的结果，其系统质心速度保持不变，要么等速直线运动，要么静止不动。空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）令 ，可以得到二体运动的基本运动 方程为：对
4、于人造地球卫星问题， 为地 球引力常数。将 带入方程(4.8)可得(4.10)(4.11)(4.12)或空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）l 动量矩守恒定理设 ，为 单位质量相对 的 动量矩（或角动量）。对 求导，则有用式(4.12)消去 ，并考虑到 ， ， 可以得到(4.12)(4.13)(4.14)空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）上式表示m1相对m2的动量矩是守恒的，包括它的方向和大小都是守恒的。由于m1相对m2 的速度与 m2相对m1的速度大小 相等方向相反，所以h 也表示 m2相对m1的单位质量的动量矩 （角动量），统一称为动量矩（角动
5、量） 。(4.14)空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）l 二体系统的动能和 的动能之和为(4.3)(4.4)(4.16) 将式(4.3)和(4.4)对时间求导后代入上式，经整理得系统质心的平动动能与绕质心转动的动能的总和表 达式为：(4.15) 空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）l 二体系统的轨道运动方程下面分析两个星体之间的相对运动轨迹，多体问题只能用数值方法求得数值解，二体问题可以得到解析解。空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）对运动方程(4.12)作 的矢量积，可得(4.12)（4.17）（4.18）积分上式后得将 代
6、入上式的右端，则空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）这里 是常矢量，这个积分称为拉普拉斯积分， 称 为拉普拉斯矢量。 在轨道平面内， 再由式（4.18）与标量积，可得式中 表示 与 之间的夹角，即 。即（4.19）（4.18）（4.20）空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）又所以即（4.21）此式就是卫星运动轨道方程。由解析几何可知，这 就是地心极坐标系中的圆锥曲线方程。空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）换成解析几何中常用的符号，即有（4.22） 式中 半正焦弦； 真近点角；卫星矢径与升交点方向的夹角；卫星升交点矢径与近地点矢
7、径夹角叫近地点角距。空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）在二体运动系统中，如果 ，可以认为重 心 与 重合， 对于 的相对运动，便成为绕中 心引力场的运动，这正是人造空间飞行器通常所遇 到的情况。二、中心引力场中的运动 空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）l 轨道形状及分类中心引力场中轨道的形状，满足轨道运动的一般 方程，即（4.23）其中 是 和 的夹角 (也可以用 f 表示)， 。空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）轨道形状由轨道偏心率e确定。e=0 圆形轨道 ； 0e1 椭圆轨道； e=l 抛物线轨道； el 双曲线轨道。
8、如图4.2所示：图4.2 轨道形状空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）圆轨道和椭圆轨道: 闭合轨道。人造卫星轨道 就是圆轨道或者是椭圆轨道。抛物线轨道或双曲线轨道: 非闭合轨道，脱离 地球引力场飞行就要沿这种轨道飞行。德国天文学家开普勒于1609-1619年总结出天体 运动的三大定律，开普勒第一定律关于轨道形状。定义：物体在中心引力场中的运动轨迹是圆、 椭圆、抛物线或双曲线等圆锥曲线，中心引力体位 于上述曲线的（一个）焦点上。空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中） l 系统的能量以 左侧点乘中心引力场中运动的基本方程式， 有其中，空间飞行器动力学与控制
9、 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）因 ，积分上式得其中 为积分常数。上式第一项为空间飞行器单位 质量的动能，第二项为其单位质量的势能。式(4.25)表示空间飞行器在轨道任意点的动能与势能之和总 为常数，即能量守恒。(4.24)(4.25)空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）速度矢量还可以写成分量形式，为此先把 写成 ， 是矢径 正向的单位矢量，如图4.3所示：图4.3 速度的分解空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）根据单位矢量对时间求导的法则，有 ，其中 是 亦即 在惯性空间的角速度，其模为 ，它与 叉乘后的方向与 垂直，与在 运动平面指向前方的单
10、位矢量 同向。对 求时间导数，有空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）式（4.26）自身点乘后代入式（4.25），则能量方程还可以表示为(4.25)故（4.26）式中， 和 分别是速度 在矢径方向和其垂直方向的分量。(4.27)空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）由图4.3和矢量叉乘的定义，写出角动量 的模(4.27)（4.26）(4.28)(4.29)式（4.27）、（4.29）是中心引力场中能量守恒的另两 种表达形式。代入（4.27），还有空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）如果把式(4.28)写成便可看出，右侧分子表示空间飞
11、行器在轨道上运动 时，矢径转过 角时所扫出的扇形面积的2倍，如 图4.4所示。图4.4 矢径扫过的面积(4.28)空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）设该面积为 ，则有(4.30)由于动量矩守恒，上式表明空间飞行器在单位时间 内扫过的扇形面积为常值，或者说扇面速度为常值 。这个结论适用于所有四种形状的轨道，称为开普 勒第二定律。空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）l 椭圆轨道的周期（开普勒第三定律 ）对于椭圆轨道，由式(4.30)积分，可得到空间飞行器运行一个周期 时，扫过的扇面积为轨道包含的椭圆面积，所以有(4.30)空间飞行器动力学与控制 第四课
12、 空间飞行器轨道动力学（中）式(4.31)又称为开普勒第三定律，可见空间飞 行器在椭圆轨道上运行的周期只与轨道的半长轴 有关。(4.31)进一步的推导可以得到空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）l 轨道要素（根数）及其几何意义确定卫星空间位置的参数叫做轨道要素。轨道要素又称轨道根数，它们确定轨道平面在空间的取向 ，轨道在轨道平面内的取向，轨道的形状和空间飞 行器在轨道上的位置。轨道要素共有六个，分别为 ：空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）（1）确定轨道平面在空间位置的参数- 升交点赤经，从春分点到升交点的角距。i - 轨道倾角，是轨道面与赤道面的夹角。升交点指当卫星轨道平面与地球赤道平面的夹角即轨道倾角不等于零时，轨道与赤道面有两个交点 ，卫星由南向北飞行时的交点称为升交点。空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）（2）确定轨道在轨道面内位置的参数- 近地点角距，在轨道平面上，升交点和 近地点矢径的夹角。近地点 : 人造卫星在围绕地球作椭圆运动的轨道上距离 地球最近的一点。 空间飞行器动力学与控制 第四课 空间飞行器轨道动力学（中）（3）确定轨道形状及地点矢径的夹角a- 轨道长半轴。e- 轨道偏心率。（4）确定卫星在轨道上位置的参数（或f）-真近点角,近地点和卫星所在位置 矢径之间的夹角。
