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1、1 引言第七章 非线性控制系统分析非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。 非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非 线性静特性的元件或环节，则称这类系统为非线性系统，其特 性不能用线性微分方程来描述。一控制系统中的典型非线性特性 下面介绍的这些特性中，一些是组成控制系统的元件所固有 的，如饱和特性，死区特性和滞环特性等，这些特性一般来 说对控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改善系 统的性能而人为加入的，如继电器特性，变增益特性，在控 制系统中加入这类特性，一般来说能使系统具有比线性系统 更为优良的动态特性。非线性系统分析饱和特性（2）死区特性危害：使系统输出信号
2、在相位上产生滞后，从而降低系统的相对 稳定性，使系统产生自持振荡。 危害：使系统输出信号在相位上产生滞后，从而降低系统的相对 稳定性，使系统产生自持振荡。（4）继电器特性功能：改善系统性能的切换元件（4）继电器特性特点：使系统在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅 速；而在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定 性。同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化 非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性特二非线性控制系统的特性（1）对于线性系统，描述其运动状态的数学模型量线性微分方程 ，它的根本标志就在于能使用叠加原理
3、。而非线性系统，其数学模 型为非线性微分方程，不能使用叠加原理。由于两种系统特性上的 这种差别，所以它的运动规律是很不相同的。目前，还没有像求解 线性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。而对非线性系统 ，一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放 在系统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算机自持振荡的振幅 和频率，消除自持振荡等有关稳定性的分析上。（2）在线性系统中，系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与 初始条件无关。对于线性定常系统，稳定性仅取决于特征根在s平 面的分布。但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关 外，还和初始条件有关。在不同的初始条件下，运动的最
4、终状态可 能完全不同。如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的，而当 初始值处于较大区域内时则变为不稳定。反之，也可能初始值大时 系统稳定，而初始值小毕低撤炊晃定。甚至还会出现更为复杂的 情况。（3）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两 种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定 振幅和频率的稳定的等幅振荡。自持振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为 自持振荡，简称自振荡。 改变非系统的结构和参数，可以改变自持振荡的振幅和频率，或消 除自持振荡。 对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式，其中 不可能产生稳定的自持振荡。（4）在线性系
5、统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是 同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不 同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输 出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。三非线性系统的研究方法 现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。对非本质非线性系统 基于小偏差线性化概念来处理 对本质非线性系统 二阶系统：相平面法 高阶系统：描述函数法2.相平面法 相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。一基本概念二线性系统的相轨迹奇点：相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇 点。（6）三.相轨迹的绘制b.直接积分法（2）
6、图解法a.等倾线法 等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线四.由相轨迹求时间解五非线性系统的相平面分析 1基本概念 实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内 虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外 极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附 近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。极限环内部（或外 部）的相轨迹，总是不可能穿过极限环而进入它的外部（或内部） 。（1）稳定极限环 在极限环附近，起始于极限环外部或内部的相 轨迹均收敛与该极限环。这时，系统表现为等幅持续振荡。（2）不稳定极限环 在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去 。在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则
7、该相轨迹收敛于 极限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至 无穷远。（3）半稳定极限环 如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限 环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环 ;或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而 起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述。在相平面的不 同区域内，代表该非线性系统运动规律的微分方程是线性的， 因而每个区域内的相轨迹都是线性系统的相轨迹，仅在不同区 域的边界上相轨迹要发生转换。区域的边界线称为开关线或转换线。因此，一般非线性系统相轨迹实际上就是分段线性系统相轨 迹，我们只需做好相轨
8、迹在开关线上的衔接工作。用相平面法分析 非线性系统的一般步骤： （1）将非线性特性用分段的直线特性来表示，写出相应线段的数 学 表达式。 （2）首先在相平面上选择合适的坐标，一般常用误差及其导数分 别为横纵坐标。然后将相平面根据非线性特性分成若干区域，使非 线性特性在每个区域内都呈线性特性。 （3）确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。 （4）在各个区域内分别画出各自的相轨迹。 （5）将相邻区域的相轨迹，根据在相邻两区分界线上的点对于相 邻两区具有相同工作状态的原则连接起来，便得到整个非线性系统 的相轨迹。 （6）基于该相轨迹，全面分析二阶非线性系统的动态及稳态特性 例2.非线性系统方框图
9、如图所示，试取其系统在输入信号例33.描述函数法 一本质非线性特性的谐波线性化1谐波线性化：具有 本质非线性的非线性 元件在正弦输入作用 下，在其非正弦周期函数的输出响应中，假设只有基波分量有意义 ，从而将本质非线性特性在这种假设下视为线性特性的一种近似。3应用描述函数法分析非线性系统的前提 a.非线性特性具有奇对称心 b.非线性系统具有图a所时的典型结构 c.非线性部分输出x(t)中的基波分量最强 d.非线性部分G(s)的低通滤波效应较好b.非线性特性的描述函数的求取方法二典型非线性特性的描述函数（1）饱和特性的描述函数（2）死区特性描述函数（3）间隙特性的描述函数（4）继电特性描述函数（5）变增益特性的描述函数(6)典型非线性环节串联时的描述函数例1求取非线性环节的等效形式例2 三.非线性控制系统的描述函数分析(1)控制系统的稳定性分析（2）典型非线性特性对系统的稳定性的影响 例1 设含理想继电器特性的系统方框图如图所式。试确定其自持 振荡的振幅和角频率。
