《南大复变函数与积分变换课件(PPT版)9.2 拉普拉斯变换的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南大复变函数与积分变换课件(PPT版)9.2 拉普拉斯变换的性质（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 9.2 Laplace 变换的性质一、线性性质与相似性质二、延迟性质与位移性质三、微分性质四、积分性质五、周期函数的像函数六、卷积与卷积定理2第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次序交换问题，均不另作说明。 所涉及到的函数的 Laplace 在下面给出的基本性质中， 且 变换均假定存在，它们的增长指数均假定为 c 。 9.2 Laplace 变换的性质3第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 证明 (略) 性质 一、线性性质与相似性质 1.
2、线性性质 P216 P216 4第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 解5第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 解6第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 令 证明 性质 一、线性性质与相似性质 2. 相似性质(尺度性质) P217 7第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 二、延迟性质与位移性质1. 延迟性质 则对任一非负实数 有 设当 t 0 时 性质 令 证明 P222 P222 8第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 二、延迟性质与位移性质1. 延迟性质 则对任一非负实数 有 设当 t 0
3、时 性质 可见，在利用本性质求逆变换时应为：因此，本性质也可以直接表述为：注意 在延迟性质中专门强调了当 t 0 时 这一约定。 9第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 已知解 方法一 方法二 两种方法为什么会得到不同的结果？ 根据延迟性质有 方法二 先平移再充零 P222 例9.12 方法一 先充零再平移 10第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 根据延迟性质有 设 求 例 解 由于 P223 例9.13 修改 11第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 证明 (略) 例如 性质 2. 位移性质 P223 二、延迟性质与位移性质12第
4、九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 三、微分性质性质 证明 由 因此当 时，有 有 即得 1. 导数的象函数 P217 P217 13第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 三、微分性质1. 导数的象函数 性质 其中， 应理解为 一般地，有 Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程(组)的初值问题。 9.4 将专门介绍 ） （ 14第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 解 利用导数的象函数性质来求解本题 以及 有 由 故有 P218 例9.7 15第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 三、微分性质
5、2. 象函数的导数 性质 一般地，有 由 有 证明 同理可得 P218 16第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 根据象函数的导数性质有 解 已知 P219 例9.8 17第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 解 根据线性性质以及象函数的导数性质有 已知 P219 例9.9 18第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 根据位移性质有 解 已知 再由象函数的导数性质有 19第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 四、积分性质1. 积分的象函数 性质 证明 令 由微分性质有 则 且 即得 P219 P219 20第九章 拉
6、普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 四、积分性质1. 积分的象函数 性质 一般地，有 21第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 再由积分性质得 根据微分性质有 解 已知 22第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 一般地，有 四、积分性质2. 象函数的积分 性质 证明 (略) P220 23第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 根据象函数的积分性质有 已知 解 即 在上式中，如果令 s = 0，则有启示 在 Laplace 变换及其性质中，如果取 s 为某些特定的值， 就可以用来求一些函数的广义积分。 利用拉氏变换 计算广义
7、积分P220 例9.10 24第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 部分基本性质汇总线性性质 相似性质 延迟性质 25第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 微分性质积分性质部分基本性质汇总位移性质 26第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 证明 记为 其中， 令 即得 性质 五、周期函数的像函数P223 27第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 函数 的周期为 解 故有 P224 例9.14 28第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 六、卷积与卷积定理1. 卷积 当 时， 如果函数满足： 按照上
8、一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指 则有 显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律、结合律 以及分配律等性质。P224 29第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 解 P224 例9.15 30第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 六、卷积与卷积定理2. 卷积定理 定理证明 左边 = D (跳过?)31第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 定理 六、卷积与卷积定理2. 卷积定理 证明 左边 = 令 记为 其中 左边 = = 右边。 32第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 故有 解 由于 P225 例9.16 33第
9、九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 轻松一下34第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 利用 Laplace 变换计算广义积分附：在 Laplace 变换及其性质中，如果取 s 为某些特定的值， 就可以用来求一些函数的广义积分。注意在 使用这些公式时必须谨慎，必要时需要事先考察一下 s 的取值范围以及广义积分的存在性。P221 注 35第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 由 解 得 利用 Laplace 变换计算广义积分附：P221 例9.11(1) 36第九章 拉普拉斯变换 9.2 Laplace 变换的性质 已知 解 由积分性质有 即得 (返回)利用 Laplace 变换计算广义积分附：P221 例9.11(2)
