《数据结构chap006》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数据结构chap006（136页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.1 树的类型定义6.2 二叉树的类型定义 6.3 二叉树的存储结构 6.4 二叉树的遍历 6.5 线索二叉树6.6 树和森林的表示方法 6.7 树和森林的遍历 6.8 哈夫曼树与哈夫曼编码6.1 树的类型定义数据对象 D： D是具有相同特性的数据元素的集合。若D为空集，则称为空树 。否则:(1) 在D中存在唯一的称为根的数据元素root；(2) 当n1时，其余结点可分为m (m0)个互不相交的有限集T1, T2, , Tm，其中每一棵子集本身又是一棵符合本定义的树，称为根root的子树。数据关系 R：基本操作：查 找 类插 入 类删 除 类Root(T) / 求树的根结点 查找类：Valu
2、e(T, cur_e) / 求当前结点的元素值 Parent(T, cur_e) / 求当前结点的双亲结点LeftChild(T, cur_e) / 求当前结点的最左孩子 RightSibling(T, cur_e) / 求当前结点的右兄弟TreeEmpty(T) / 判定树是否为空树 TreeDepth(T) / 求树的深度TraverseTree( T, Visit() ) / 遍历InitTree( Value(T, e); Parent(T, e);LeftChild(T, e); RightChild(T, e);LeftSibling(T, e); RightSibling(T,
3、e);BiTreeEmpty(T); BiTreeDepth(T);PreOrderTraverse(T, Visit();InOrderTraverse(T, Visit();PostOrderTraverse(T, Visit();LevelOrderTraverse(T, Visit();InitBiTree(Assign(T, CreateBiTree(InsertChild(T, p, LR, c);ClearBiTree( DestroyBiTree(DeleteChild(T, p, LR);二叉树的重要特性 性质 1 ：在二叉树的第 i 层上至多有2i-1 个结点。 (i1)用
4、归纳法证明：归纳基：归纳假设：归纳证明：i = 1 层时，只有一个根结点：2i-1 = 20 = 1；假设对所有的 j，1 j i，命题成立；二叉树上每个结点至多有两棵子树， 则第 i 层的结点数 = 2i-2 2 = 2i-1 。性质 2 ：深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个结点（k1）。证明：基于上一条性质，深度为 k 的二叉树上的结点数至多为20+21+ +2k-1 = 2k-1 。 性质 3 ：对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶 子结点、n2 个度为 2 的结点，则必存在 关系式：n0 = n2+1。证明：设 二叉树上结点总数 n = n0 + n1 + n2 又 二叉树上分
5、支总数 b = n1+2n2而 b = n-1 = n0 + n1 + n2 - 1 由此， n0 = n2 + 1 。两类特殊的二叉树：满二叉树：指的是 深度为k且含有2k-1个结点的二叉树。完全二叉树：树 中所含的 n 个结点 和满二叉树中编号 为 1 至 n 的结点一 一对应。123456789 10 11 12 13 14 15abcdefghij 性质 4 ：具有 n 个结点的完全二叉树的深度 为 log2n +1 。证明：设完全二叉树的深度为 k 则根据第二条性质得 2k-1 n n，则该结点无左孩子，否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点； (3) 若 2i+1n，则该结点无右
6、孩子结点，否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。6.3 二叉树的存储结构二、二叉树的链式存储表示一、 二叉树的顺序存储表示#define MAX_TREE_SIZE 100 / 二叉树的最大结点数 typedef TElemType SqBiTreeMAX_TREE_SIZE; / 0号单元存储根结点 SqBiTree bt;一、 二叉树的顺序存储表示例如:ABCDEFA B D C E F0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131401326二、二叉树的链式存储表示1. 二叉链表2三叉链表3双亲链表4线索链表ADEBCFrootlchild data rchild
7、结点结构:1. 二叉链表typedef struct BiTNode / 结点结构TElemType data;struct BiTNode *lchild, *rchild; / 左右孩子指针 BiTNode, *BiTree;lchild data rchild结点结构:C 语言的类型描述如下:ADEBCFroot2三叉链表parent lchild data rchild结点结构:typedef struct TriTNode / 结点结构TElemType data;struct TriTNode *lchild, *rchild; / 左右孩子指针struct TriTNode *p
8、arent; /双亲指针 TriTNode, *TriTree;parent lchild data rchild结点结构:C 语言的类型描述如下:0 1 2 3 4 5 6data parent结点结构:3双亲链表LRTagL RR R Ltypedef struct BPTNode / 结点结构TElemType data;int *parent; / 指向双亲的指针char LRTag; / 左、右孩子标志域 BPTNodetypedef struct BPTree / 树结构BPTNode nodesMAX_TREE_SIZE;int num_node; / 结点数目int root;
9、 / 根结点的位置 BPTree6.4二叉树的遍历一、问题的提出二、先左后右的遍历算法三、算法的递归描述四、中序遍历算法的非递归描述五、遍历算法的应用举例顺着某一条搜索路径巡访二叉树 中的结点，使得每个结点均被访问一 次，而且仅被访问一次。一、问题的提出“访问”的含义可以很广，如：输出结点的信息等。“遍历”是任何类型均有的操作，对线性结构而言，只有一条搜索路径(因为每个结点均只有一个后继)，故不需要另加讨论。而二叉树是非线性结构， 每个结点有两个后继，则存在如何遍历即按什么样的搜索路径遍历的问题。对“二叉树”而言，可以有三 条搜索路径： 1先上后下的按层次遍历； 2先左（子树）后右（子树） 的
10、遍历； 3先右（子树）后左（子树） 的遍历。二、先左后右的遍历算法先（根）序的遍历算法中（根）序的遍历算法后（根）序的遍历算法若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）访问根结点；（2）先序遍历左子树；（3）先序遍历右子树。先（根）序的遍历算法：若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）中序遍历左子树；（2）访问根结点；（3）中序遍历右子树。中（根）序的遍历算法：若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）后序遍历左子树；（2）后序遍历右子树；（3）访问根结点。后（根）序的遍历算法：三、算法的递归描述void Preorder (BiTree T,void( *visit)(TElemType / 访问结点
11、Preorder(T-lchild, visit); / 遍历左子树Preorder(T-rchild, visit);/ 遍历右子树 四、中序遍历算法的非递归描述BiTNode *GoFarLeft(BiTree T, Stack *S)if (!T ) return NULL;while (T-lchild )Push(S, T);T = T-lchild;return T; void Inorder_I(BiTree T, void (*visit)(TelemTypet = GoFarLeft(T, S); / 找到最左下的结点while(t)visit(t-data);if (t-r
12、child)t = GoFarLeft(t-rchild, S);else if ( !StackEmpty(S ) / 栈不空时退栈t = Pop(S);else t = NULL; / 栈空表明遍历结束 / while / Inorder_I 五、遍历算法的应用举例1、统计二叉树中叶子结点的个数(先序遍历)2、求二叉树的深度(后序遍历)3、复制二叉树(后序遍历)4、建立二叉树的存储结构1、统计二叉树中叶子结点的个数算法基本思想:先序(或中序或后序)遍历二叉树，在遍历过程中查找叶子结点，并计数。 由此，需在遍历算法中增添一个“计数 ”的参数，并将算法中“访问结点”的 操作改为：若是叶子，则计
13、数器增1。void CountLeaf (BiTree T, int / 对叶子结点计数CountLeaf( T-lchild, count); CountLeaf( T-rchild, count); / if / CountLeaf2、求二叉树的深度(后序遍历)算法基本思想:从二叉树深度的定义可知，二叉树的深度应为其左、右子树深度的最大值加1 。由此，需先分别求得左、右子树的深 度，算法中“访问结点”的操作为：求 得左、右子树深度的最大值，然后加 1 。首先分析二叉树的深度和它的左、右子树深度之间的关系。int Depth (BiTree T ) / 返回二叉树的深度if ( !T ) d
14、epthval = 0;else depthLeft = Depth( T-lchild );depthRight= Depth( T-rchild );depthval = 1 + (depthLeft depthRight ?depthLeft : depthRight); return depthval; 3、复制二叉树其基本操作为：生成一个结点。根元素T左子树右子树根元素NEWT左子树右子树左子树右子树(后序遍历)BiTNode *GetTreeNode(TElemType item, BiTNode *lptr , BiTNode *rptr )if (!(T = (BiTNode*
15、)malloc(sizeof(BiTNode)exit(1);T- data = item;T- lchild = lptr; T- rchild = rptr;return T; 生成一个二叉树的结点 (其数据域为item,左指针域为lptr,右指针域为rptr)BiTNode *CopyTree(BiTNode *T) if (!T ) return NULL;if (T-lchild ) newlptr = CopyTree(T-lchild);/复制左子树else newlptr = NULL;if (T-rchild ) newrptr = CopyTree(T-rchild);/复制右子树else newrptr = NULL;newT = GetTreeNode(T-data, newlptr, newrptr);
