分离变量法的应用

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1、回顾1、分离变量方法的应用稳定热传导问题2、有界弦的纯受迫振动问题3、非零初始条件的处理4、非齐次边界条件问题1非齐次边界条件的处理：2思考题非齐次泛定方程在非齐次边界条件和非零初始条件下的定解问题应该如何求解？3三维形式的直角坐标分离变量以三维空间中的热传导问题为例，考虑齐次泛定方程：考虑如下形式的解：代入方程可得：4这样得到如下两个微分方程：第二个微分方程可以进一步分离变量，令：代入方程中整理可得：5分析易得：时间部分的解为：空间部分（满足边界条件要求）的解通常为正弦函数 和余弦函数的组合。因此，三维热传导问题的完整解为：6例8.5 求解下列定解问题：7求解本征值问题可得：8相应地，这时，

2、有：同时可求出 T：构造特解并叠加得到：9代入初始条件可得：故定解问题：的解为：10在利用分离变量法求解定解问题的时候，对方程和边界条件都要进行变量分离。一般而言，能否应用分离变量法，除了和方程和边界条件本身的形式有关之外，还和所选择的坐标系有关系。这个时候要根据边界情况来选取合适的坐标系。在进一步讨论之前，我们引入正交曲线坐标系的概念。11例 8.5 求解如下定解问题：（P194，例4）12正交曲线坐标系由三族互相正交的曲面定义的坐标系称为正交曲线坐标系。正交曲线坐标系和直角坐标的关系为：例：柱坐标系13球坐标系其他正交曲线坐标系还有抛物柱面坐标、椭球坐标等。14正交曲线坐标系中的Laplace算符15一般地，我们总可以对齐次泛定方程的时间和坐标变量进行分离（和坐标系的选取无关）。现在我们就来考察在不同的正交曲线坐标系下对Laplace方程如何进行变量分离。16柱坐标系的情况171819球坐标系的情况2021例 8.5 求解如下定解问题：（P194，例4）2223