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1、高考总复习.理科.数学第十一章 立体几何与空间向量 第二节 空间角的概念及其求法和 空间距离的求法高考总复习.理科.数学课前自主学案 高考总复习.理科.数学 知识梳理 1异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线 aa，bb，a，b所成的角的大小与点O的选择无关，把a， b所成的锐角(或直角)叫异面直线a，b所成的角(或夹角)为了 简便起见，点O通常取在异面直线的一条上 (2)异面直线所成的角的范围： . (3)求异面直线所成的角的方法：几何法；向量法. 2直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫 做这条斜线和这个平面所成的
2、角 特例：当一直线垂直于平面，规定它们所成的角是直角；当 一直线平行于平面或在平面内，规定它们所成角为0角(2)直线和平面所成角范围： .高考总复习.理科.数学 3二面角 (1)定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一 部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面 角的面若棱为l，两个面分 别为，的二面角记为l. (2)二面角的平面角过二面角的棱上的一点O分别在两个半 平面内作棱的两条垂线OA，OB，则AOB 叫做二面角l的平面角 一个平面垂直于二面角l的棱l， 且与两半平面交线分别为OA，OB，O为垂 足，则AOB
3、就是l的平面角注意：二面角的平面角范围是0，； 二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两 个平面互相垂直高考总复习.理科.数学 (3)二面角大小的求法：几何法；向量法(4)求二面角的射影公式：cos ， 其中各个符号的含义是：S是二面角的一个面内图形F的面积 ，S是图形F在二面角的另一个面内的射影，是二面角的平面 角大小. 4三种空间角的向量法计算公式 (1)异面直线a，b所成的角：cos | ；(其中a，b 分别是异面直线a，b的方向向量)(2)直线a与平面(其法向量为n)所成的角：sin (3)锐二面角：(方法1)：cos 其中m，n为两个面的法向量(方法2)：cos ，其
4、中a，b是分 别在两个面内且与棱都垂直的向量 高考总复习.理科.数学 5求点到平面的距离及其向量公式 (1)点到平面的距离：点与它在的平面上的射影间的距离叫做该 点到这个平面的距离(2)点到平面距离的向量公式：设平面的一个法向量为n，点P是 平面外一点，且P0，则点P到平面的距离是d .基础自测 1(2009年湛江师院附中月考)在正三棱柱ABCA1B1C1中，若 AB BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为( )A60 B. 90 C105 D. 75答案：B高考总复习.理科.数学2(2009年广雅中学月考)棱长都为2的直平行六面体ABCD A1B1C1D1中，BAD60，则对角线A1C与侧
5、面DCC1D1所成角 的正弦值为( )答案：C3已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为_答案：4(2009年浙江卷)在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧 棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C 所成角的大小是( )高考总复习.理科.数学A30 B45 C60 D90答案：C高考总复习.理科.数学课堂互动探究 高考总复习.理科.数学求异面直线所成的角 如下图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB 4，AD3，AA12.E、F分别是线段AB、BC上的点 ，且EBBF1.求直线E
6、C1与FD1所成的角的余弦值 分析：(1)本题易于建立空间直角坐标系， 把EC1与FD1所成角看作向量 与 的 夹角，用向量法求解(2)平移线段C1E让C1与D1重合转化为平面角，放 到三角形中，用几何法求解高考总复习.理科.数学 解析：法一：以A为原点， 分别为x轴、y轴、z轴 的正向建立空间直角坐标系，则有D1(0,3,2)、E (3,0,0)、 F(4,1,0)、C1(4,3,2)，于是 (1,3,2)， (4,2,2)设EC1 与FD1所成的角为，则： 直线EC1与FD1所成的角的余弦值为 . 法二：延长BA至点E1，使AE11，连结E1F、DE1、D1E1、DF ，有 D1C1E1E
7、, D1C1E1E，则四边形D1E1EC1是平行四边 形则E1D1EC1.于是E1D1F为直线EC1与FD1所成的角在RtBE1F中，高考总复习.理科.数学在E1FD1中，由余弦定理得：直线EC1与FD1所成的角的余弦值为 .点评： 解法一与解法二从两个不同角度求异面直线所成的角 解法一把角的求解转 化为向量运算，解法二体现传统方法作证算；应注意体会 两种方法的特点“转化”是求异面直线所成角的关键平移线段 法，或化为向量的夹角一般地，异面直线l1、l2的夹角的余弦 为：cos .高考总复习.理科.数学变式探究 1(2008年海南宁夏卷)如右图所示，已知点P在正方体ABCD A1B1C1D1的对
8、角线BD1上，PDA60.求DP与CC1所成角的大小 解析：以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz. 则 (1,0,0)， (0,0,1)连结BD，B1D1. 在平面BB1D1D中，延长DP交B1D1于H.设 (m，m,1)(m0)，由已知 60，高考总复习.理科.数学求直线和平面所成的角 斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条 边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影因 此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找 射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹 角或考虑法向量，设 为直线l与平面所成的角， 高考总复习.理科.数学为直线
9、l的方向向量v与平面的法向量n之间的夹角，则有 或特别地0时， ，l； 时，0，l或l.如右图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D ，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上 的射影是ABD的重心G.求A1B与平面ABD所成 角的大小的正弦值高考总复习.理科.数学解析： 以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y 轴，CC1所在直线为z轴，建立直角坐标系，设CACBa， 则 A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1) 点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G, 平面ABD, 0，解得 a2. 平
10、面ABD, 为平面ABD的一个法向量高考总复习.理科.数学高考总复习.理科.数学 变式探究 2(2008年全国卷)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于( )高考总复习.理科.数学高考总复习.理科.数学高考总复习.理科.数学求二面角的大小1几何法：将二面角问题转化为求其平面角的大小问题，要掌握以下三种基本做法 直接利用定义，图(1)利用三垂线定理及其逆定理，图(2)最常用作棱的垂面，图(3)高考总复习.理科.数学另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角； 2向量法：从平面的法向量考虑，设 n1，
11、n2分别为平面，的法向量，二面角l的大小为，向量 n1，n2的夹角为，则有或 高考总复习.理科.数学如果AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为 高考总复习.理科.数学解析：取BC的中点O，连结AO.由题意知 平面ABC平面BCC1B1， AOBC， AO平面BCC1B1， 以O为原点，建立如右图所示空间直角坐标系，高考总复习.理科.数学高考总复习.理科.数学高考总复习.理科.数学变式探究 3(2009年安徽卷)如右图 ，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC2，BD2，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE1，CF2.求二面角BAFD的大小； 高考总
12、复习.理科.数学解析：法一：连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，G为垂足连接BG、DG.由BDAC，BDCF得，BD平面ACF，故BDAF. 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角BAFD 的平面角高考总复习.理科.数学由FCAC，FCAC2， 得FAC4，OG2 2， 由OBOG，OBOD2 2， 得BGD2BGO2. 高考总复习.理科.数学高考总复习.理科.数学同理，可求得平面ADF的法向量n2()2，1，1 . 由n1n20知，平面ABF与平面ADF垂直， 二面角BAFD的大小等于2. 高考总复习.理科.数学空间中点到平面的距离如右图所示，已知正四棱柱AB
13、CDA1B1C1D1，AB1，AA12，点E为CC1中点，点F为BD1中点求点D1到面BDE的距离高考总复习.理科.数学高考总复习.理科.数学SDBE123 2( 2)23 2，d22 2 3 22 33. 故点D1到平面BDE的距离为2 33. 点评：等体积法是求点到平面距离的常用方法，一般是找到一个三棱锥，利用选择不同的顶点后，三棱锥自身体积相等的特性进行求解使用等体积法的前提是几何体的体积一定可以通过题设算得 高考总复习.理科.数学变式探究 4.(2008年北京卷)如右图所示，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC.(1)求证：PCAB；(2)求二面角BAPC
14、的正弦值；(3)求点C到平面APB的距离解析：(1)取AB中点D，连结PD，CD.APBP，PDAB.ACBC，CDAB.PDCDD，AB平面PCD.PC平面PCD，PCAB.高考总复习.理科.数学(2)ACBC，APBP，APCBPC.又PCAC，PCBC.又ACB90，即ACBC，且ACPCC，BC平面PAC.取AP中点E.连结BE，CE.ABBP，BEAP.EC是BE在平面PAC内的射影，高考总复习.理科.数学高考总复习.理科.数学(3)由(1)知AB平面PCD，平面APB平面PCD.过C作CHPD，垂足为H.平面APB平面PCDPD，CH平面APB.CH的长即为点C到平面APB的距离由(1)知PCAB，又PCAC，且ABACA，高考总复习.理科.数学高考总复习.理科.数学温馨提示 高考总复习.理科.数学1空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的，对空间各种角概念必须深刻理解平行和垂直可以看作是空间角的特殊情况 2几何法在书写上体现：“作出来、证出来、
