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1、相似三角形的 判定AACAABBC A=A， B=B ABC ABC用数学符号表示：用数学符号表示：判定定理判定定理3 3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角两角对应相等相等，两三角形，两三角形相似相似。1、判断题： 所有的直角三角形都相似 . （ ） 所有的等边三角形都相似. （ ） 所有的等腰直角三角形都相似. （ ） 有一个角相等的两等腰三角形相似 . （ ） 顶角相顶角相 等等底角相底角相 等等顶角与底角顶角与底角 相等相等基础演练基础演练2、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和 原三角形相似。ADBC已知：在R
2、tABC中，CD是斜边AB上的高。证明: A=A，ADC=ACB=900，此结论可以称为：“射影定理”，又叫“母子相似定理母子相似定理” ACDABC（两角对应相等，两 三角形相似）。同理 CBD ABC 。 ABCCBDACD。求证：ABCACD CBD 。（2）AC2=AD AB (3) CD2=AD DB可得（1） BC2=BD AB DBC 3、如图：在Rt ABC中 ， ABC=90 BDAC于D 求证：AB2=AD AC BD2=AD DCA证明 ABC=900，BDAC ADB ABCABAC=ADABAB2=AD AC ABC=900，BDAC ADB CDB ADBD=BDD
3、C BD2=AD DC4、如图所示， 锐角 ABC 的 高CD和BE相交于点O，图中与 ODB相似的三角形的个数有 （ ） A 1 B 2 C 3 D 45、如图所示， 1= 2= 3， C= E， ABC 和 ADE相似吗？请说明理由。 解： ABC ADE .理由 ： ABCDE 12 3 1= 2= 3，即BAC= DAE 又 C= E， ABC ADE 1+ 2= 2+ 3，ABCD ECOSSS1. 如图，判断两个三角形是否相似，ABCDEF4cm5cm7cm2cm2.5cm3.5cmABCDFC.解：试说明BAD=CAE.ADCEBABCADE BAC=DAE BACDAC=DAE
4、DAC 即BAD=CAESAS如图:DAB=CAE且ACAD=AEAB找出与ADE相等的角DE CBA如图: ABCD 求 证:OAOD=OBOC ABDCO4:2=5:x=6:y 4:x=5:2=6:y 4:x=5:y=6:2要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形 的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的 一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?这个 问题有其他答案吗?4562延伸练习 1、已知：如图，在ABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。（2）图中还有与AEF相似的三角形吗？请一一写出 。ABCDE（1）求证：AEFADC；FAFEDC答:有AE
5、FADCBECBDF.2、如图，已知BCBC，ACAC求证：ABCABC证明：BCBC34， BC/BC OC/OC ACAC12 AC/AC OC/OC ACBACBBC/BC AC ABCABCB A C O B C A 1 3 2 4 1 1ACP=BA AC CB BP P 2 2或APC=ACB或AP:AC=AC:AB3、如图点P是ABC的AB边上的一点,要使APCACB,则需补上哪一个条件?4、如图,点C,D在线段AB上, PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样关系时, PCABDP.(2)当PCA BDP时,求APB的度数.PBCDA5如图，不能判定ACDABC的条
6、件是( ) A ACDB B ADCACB C ACBCABDC D AC2ADAB4如图，DEBC，则图中一共有( )对相似三 角形。C DB A A B C DE(3)(4)C2相似三角形 性质相似三角形的性质对应角相等对应边成比例对应高对应中线对应角平分线周长比等于相似比面积比等于相似比的平方的比等于相似比1.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘 米和14 厘米，（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的 周长分别是。（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个 三角形的面积分别是_。如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米 ，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方
7、 形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上， 这个正方形零件的边长是多少？NMQPEDCBA解：设正方形PQMN是符合要求的ABC 的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN 的边长为x毫米。因为PNBC，所以APN ABC所以AEAD=PNBC因此 ，得 x=48（毫米）。答：-。80x80=x120 如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成 一个点）发出的光线照射桌面形成阴 影的示意图，已知桌面的直径为1.2米 ，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地 面3米，则地面上阴影部分的面积为多 少？1.已知梯形ABCD中， ADBC，对角线AC、BD交于点O，若AOD的面积为4cm2, BOC的面积为
8、9cm2, 则梯形ABCD的面积_cm2ABCDO解:AODCOB SAOD:SCOB=4:9OD:OB=2:3SAOD:SAOB=2:3SAOB=6cm2梯形的面积为25cm2ADBC25例2、如图,DEBC,EFAB,且SADE=25,SCEF=36.求ABC的面积.ABCDEF2536解：DEBC，EFABA=CEF，AED=CADEEFCDEBCADEABC SADE=25S ABC=121相似三角形的 应用2.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某 一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一 高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?解:设高楼的高度为X米，则答:
9、楼高36米.60米3米？1.85.小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小 块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地 面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离 是40米.求塔高AB? BDCAE答:塔高30米.解:DEC=ABC=90 DCE=ACBDECABC皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m的标竿，当楼房顶 部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线 上时，其他人测 出AB=4cm,AC=12m。已知皮皮眼睛离地面1.6m.请你帮他 算出楼房的高度。ABCDEFGH 41251.67.如图，正方形ABCD的边长为8，E是 AB的中点，点M，N分别在BC，CD上， 且CM=2，则当CN=
10、_时， CMN与ADE相似。EABCDMN1或4BCAQP8162cm/秒4cm/秒在ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟BPQ与BAC相似？在直角梯形ABCD中,AD=7，AB=2，DC=3 P为AD上一点，以P,D,C为顶点的三角 形与以P,A,B为顶点的三角形相似，那 么这样的点有几个?DAPBCEABC.2、如图, 在ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2, 在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与 ABC相似,那么A
11、F=_F2F12.如图，在44的正方形方格中，ABC和DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. （1）填空：ABC= ， DEF= ； （2）判断ABC与DEF是否相似，并证明你的结论.AB=2 BC=2EF=2 DE= 例 3 如图矩形ABCD是由三个正方形 ABEG,GEFH,HFCD组成的,找出图中 的相似三角形. 解: AEF CEA.理由是: 设小正方形的边长是1,由勾股 定理得 AEF CEA. (三边对应边成比例的两个三角形相似.)ABCDEFGHABCDEFGH AEF CEA. (两条对应边成比例且它们的夹角对应相等的两个三角形 相似.) AEF = CEA=135.1
12、9、如图（）， 中，则:四边形:四边形=_答案：A AB BC C画一画 1、 在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点 为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图44的格纸 中, ABC是一个格点三角形(1)在右图中,请你画一个格点三角形,使它与ABC相似(相似比不为1)(2)在右图中,请你再画一个格 点三角形,使它与ABC相似(相 似比不为1),但与图1中所画的 三角形大小不一样.ABCABCABC251251 1251 1DEAB C例5、如图, AB/AD=BC/DE=AC/AE.(1) 求证: BAD= CAE;(2) 若已知 AB=6, BD=3, AC=4, 求 CE 的长 .(1) 得ABCADE BAC=DAE BAC-DAC=DAE-DAC即BAD=CAE(2) 由BAD=CAE ABDACE 证明 ：DQABCP如图, 边长为4的正方形ABCD中, P是边BC上的一点, QPAP交 DC于Q, 设 BP= x, ADQ的面积为y.(1) 求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围;(2) 问P点在何位置时,ADQ的面积最小?最小面积是多少?
