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1、矩阵的加法矩阵的加法主要内容主要内容数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵的乘法矩阵的乘法方阵的幂方阵的幂第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的转置矩阵的转置方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵矩阵矩阵乘积的意义矩阵矩阵乘积的意义1 1. . 定义定义定义定义 2 2 设设 A A = (= (a aij ij) )m m n n 与与 B B = (= (b bij ij) )m m n n 是两是两A A - - B B = = A A + ( + (- -B B) .) .阵阵. . 显然有显然有 A A + ( + (- -A A) = ) = O O. . 由此可定义矩阵的由此可定义矩阵
2、的差差为为若记若记 - - A A = ( = ( - -a aij ij) , ) , 则称则称 - -A A 为矩阵为矩阵 A A 的的负矩负矩阵阵 A A 与矩阵与矩阵 B B 的和的和，记为记为 A AB B个同型矩阵，称个同型矩阵，称 m m n n 矩阵矩阵 C C = (= (a aij ij + + b bij ij) )m m n n为矩为矩一、矩阵的加法一、矩阵的加法2. 2. 运算规律运算规律设 A, B, C 为同型矩阵, 则(1) A + B = B + A ( 加法交换律加法交换律) ;(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律
3、加法结合律);(3) A + O = O + A = A, (4) A + ( -A ) = O .其中 O 与 A 是同型矩阵;例例 设(1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求其和, 哪些不能进行加法运算, 说明原因;(2) 求 C 的负矩阵.1. 1. 定义定义定义定义 3 3 设设 A A = ( = ( a aij ij ) )m m n n, ,k k 是一个数是一个数, , 则则为数为数 k k 与矩阵与矩阵 A A 的的数量乘积数量乘积, 简称数乘简称数乘, , 记为记为 k kA A. .称矩阵称矩阵二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘2. 2. 运算规律运算规律设 A, B
4、 为同型矩阵, k, l 为常数，则(1) 1A = A;(2) k(lA) = (kl) A;(3) k(A + B) = kA + kB;(4) (k + l)A = kA + lA. 矩阵相加与数乘矩阵，统称为矩阵的线性运算线性运算.例例 设且求矩阵 X .三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法1. 1. 引例引例2. 2. 定义定义定义定义 4 4 设矩阵设矩阵 A A = ( = (a aij ij) )m m p p , , B B = (= (b bij ij) )p p n n , , i i = 1, 2, = 1, 2, , , m m; ; j j = 1, 2, = 1, 2,
5、, , n n , ,则称矩阵则称矩阵 C C 为为矩阵矩阵 A A 与矩阵与矩阵 B B 的乘积的乘积, 记作记作 注意注意: : 只有当第一个矩阵只有当第一个矩阵( (左矩阵左矩阵) )的列数等于第的列数等于第二个矩阵二个矩阵( (右矩阵右矩阵) )的行数时的行数时, ,两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘. .C = ABC = AB. .c cij ij= = a ai i1 1b b1 1j j+ + a ai i2 2b b2 2j j+ + + + a aipipb bpjpjC C = ( = (c cij ij) )m m n n , , 其中其中例例 利用下列模型计算两个矩阵的
6、乘积.例例 利用下列模型验证单位矩阵的性质.例例 4 4 已知求 AB.例例 5 5 求矩阵的乘积 AB 及 BA.定义了矩阵的乘法运算后, 对于线性方程组若令AX = b.AX = b.则上述线性方程组可写成如下矩阵形式: AXAX = = b b. .关于矩阵的乘法运算, 需要注意以下几点:(1) (1) 矩阵的乘法运算不满足交换律矩阵的乘法运算不满足交换律. .左乘 B”或“B 右乘 A”.作乘法时,应指明它们相乘的次序. 如 AB 读作“A中AB和BA 虽然都有定义, 但 AB BA.所以, 在使AB与BA 都有定义, 它们也不一定相等. 的矩阵A 和 B , AB 有定义, 但 BA
7、 就没有定义. 即AB 有定义, BA不一定有定义.中如如AXAX = = b b. .(3) (3) 矩阵的乘法不满足消去律矩阵的乘法不满足消去律, ,即如果即如果 但 A C .例如AB = CBAB = CB, , B B O O, , 不一定不一定能能推出推出 A = CA = C. (2) (2) 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.例如 本节中 A O, B O, 但 BA = O.3 3. . 运算规律运算规律(1) OkmAmp= Okp , AmpOpn= Omn ;(2) 设 A 是 m n 矩阵, Em 是 m 阶单位矩(5) k(AB) = (
8、kA)B = A(kB).(B + C)A = BA + CA;(3) (AB)C = A(BC);(4) A(B + C) = AB + AC,EmA = A, AEn = A ;阵, En 是 n 阶单位矩阵, 则四、方阵的幂四、方阵的幂如果 A 是 n 阶方阵, 那么, AA 有意义, 也有意义, 因此有下述定义:另外还规定，. . 定义定义0 = E.相乘称为相乘称为 的的 m m 次幂次幂，记为记为 m m, , 即即定义定义 设设 A A 是是 n n 阶方阵阶方阵, , m m 是正整数是正整数, , m m 个个2. 2. 运算规律运算规律设 A 为方阵, k, l 为正整数,
9、 则阶方阵 A 与 B , 一般来说 (AB)k AkBk .又因矩阵乘法一般不满足交换律, 所以对于两个 nAkAl = Ak+l , (Ak)l = Akl .例例 设计算 A2, A3, An (n3).例例 6 6 证明六、矩阵的转置六、矩阵的转置1. 1. 定义定义定义定义 5 5 把矩阵把矩阵 A A 的行换成同序数的列得到的行换成同序数的列得到例如矩阵的转置矩阵为一个新矩阵一个新矩阵, , 叫做叫做 A A 的的转置矩阵转置矩阵, 记作记作 A AT T或或 A A .2. 2. 运算规律运算规律设 A，B，C，A1，A2， ，Ak 是矩阵，且(A1A2Ak)T = AkT A2
10、TA1T ;(1) (AT)T = A ;(2) (B + C)T = BT + CT ;(3) (kA)T = kAT;(4) (AB)T = BTAT ; 则它们的行数与列数使相应的运算有定义， k 是数，(5) 若 A 为 n 阶矩阵, 则 (Am)T = (AT)m ,A 为反对称矩阵的充要条件是 AT = - A .(6) A 为对称矩阵的充要条件是 AT = A;m 为正整数;例例 7 7 已知求 (AB)T .例例 8 8 设 A 为 n1 矩阵, 且 ATA = 1, En 为 n阶单位矩阵, B = En - 2AAT , 证明: B 为对称矩阵,且 B2 = En .七、方
11、阵的行列式七、方阵的行列式1. 1. 定义定义定义定义 6 6 由由 n n 阶方阵阶方阵 A A 的元素所构成的行列的元素所构成的行列式式( (各元素的位置不变各元素的位置不变), ), 叫做叫做方阵方阵 A A 的行列式的行列式, 记记作作 | |A A| | 或或 detdet A A . .2. 2. 运算规律运算规律设 A, B 为 n 阶方阵, 为数, 则有(1) |AT| = |A| ;(2) |A| = n |A| ;(3) |AB| = |A| |B| .例例 9 9 行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下方阵称为方阵 A 的伴随矩阵伴随矩阵, 试证AA
12、 = AA = |A|E .八、共轭矩阵八、共轭矩阵复数, 记称为 A 的共轭矩阵共轭矩阵 . .当 A = (aij) 为复矩阵时, 用表示 aij 的共轭aij共轭矩阵有以下运算规律(设 A ,B 为复矩阵, 为复数, 且运算都是可行的):本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 !
13、 ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单
14、击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结
15、束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本
