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1、2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征广州一中 数学高二备课组2008年9月19日一 、复习众数、中位数、平均数的概念2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处 在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均 数）叫做这组数据的中位数 1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫 做这组数据的众数 众数、中位数、平均数都是描述一组数 据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不 同，其中以平均数的应用最为广泛.3、平均数: 一般地，如果n个数 ，那么， 叫做这n个数的平均数。1、求下列各组数据的众数（1）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9 众数是：3和8 （2）、1 ，2，
2、3，3，3，5，5，8，8，9，9 众数是：32、求下列各组数据的中位数（1）、1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9（2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9中位数是：5中位数是：43、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名 运动员的成绩如下表所示：成绩绩(米)150160165170175180185190 人数23234111分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 。解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多 ，即这组数据的众数是1.75上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列 的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数 据的
3、中位数是1.70；答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）。 这组数据的平均数是二 、 众数、中位数、平均数与频率分布直方图 的关系例如，在上一节抽样调查的100位居民的 月均用水量的数据中，我们得知这一组样本 数据的 ，并画出过 这组数据的频率分布直方图.众数 =2.3（t）中位数=2.0（t）平均数=2.0（t）现在，观察这组数据的频率分布直方图，能 否得出这组数据的众数、中位数和平均数？众数、中位数和平均数0.52.521.5143.534.5频率 组距思考：小长方形面 积、对应这个组的 频率、这个组占的 比例的关系。0.52.52
4、1.5143.534.5频率 组距2.25归纳总结得：因为在频率分布直方图中，各小长方形 的面积表示相应各组的频率，也显示出样本 数据落在各小组的比例的大小，所以从图中 可以看到，在区间2，2.5）的小长方形的面 积最大，即这组的频率是最大的，也就是说 月均用水量在区间2，2.5）内的居民最多， 即众数就是在区间2，2.5）内。众数在样本数据的频率分布直方图中， 就是最高矩形的中点的横坐标。0.52.521.5143.534.5频率 组距0.040.080.150.220.250.140.06 0.040.02提示：中位数左边的 数据个数与右边的数 据个数是相等的。0.52.521.5143.
5、534.5频率 组距0.040.080.150.220.250.140.06 0.040.02前四个小矩形的 面积和=0.49后四个小矩形的 面积和=0.262.02归纳总结得：在样本中，有50的个体小于或等于中位数 ，也有50的个体大于或等于中位数，因此，在 频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。在 这个频率分布直方图中，左边的直方图的面积代 表50个单位，右边的直方图也是代表50个单位， 它们的分界线与x轴交点的横坐标就是中位数。中位数在样本数据的频率分布直方图中，就 是把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分 界线与x轴交点的横坐标。思考讨论
6、以下问题：1、2.02这个中位数的估计值，与样本的中 位数值2.0不一样，你能解释其中原因吗？答：2.02这个中位数的估计值,与样本的中 位数值2.0不一样，这是因为样本数据的频 率分布直方图，只是直观地表明分布的形 状，但是从直方图本身得不出原始的数据 内容，直方图已经损失一些样本信息。所 以由频率分布直方图得到的中位数估计值 往往与样本的实际中位数值不一致.0.52.521.5143.534.5频率 组距0.040.080.150.220.250.140.06 0.040.02提示：在频率分布 直方图中,各个组的 平均数如何找？0.52.521.5143.534.5频率 组距0.040.0
7、80.150.220.250.140.06 0.040.02.0.751.752.252.753.253.754.251.250.5提示：与小长 方形面积的比 例有关吗？0.52.521.5143.534.5频率 组距0.040.080.150.220.250.140.06 0.040.022.02.0.751.752.252.753.253.754.251.250.5总结归纳得：平均数是频率分布直方图的“重心”， 是直方图的平衡点。 先找出每个小长方 形的“重心”，即每小组的平均数，再按比 例算出直方图的平均数。平均数在样本数据的频率分布直方图 中，等于频率分布图中每个小长方形面积 乘以小矩
8、形底边中点的横坐标之和。思考讨论以下问题：2、样本中位数不受少数极端值的影响，这 在某些情况下是一个优点，但它对极端值 的不敏感有时也会成为缺点。你能举例说 明吗？ 答：优点：对极端数据不敏感的方法能够 有效地预防错误数据的影响。 对极端值不敏感有利的例子:例如当样本数据质 量比较差，即存在一些错误数据（如数据录入错 误、测量错误等）时，用抗极端数据强的中位数 表示数据的中心值更准确。缺点：（1）出现错误的数据也不知道 ；（2）对极端值不敏感有弊的例子：某人 具有初级计算机专业技术水平，想找一份 收入好的工作。这时如果采用各个公司计 算机专业技术人员收入的中位数作为选择 工作的参考指标就会冒这
9、样的风险：很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平 人员的收入很低，其原因是中位数对极小的数 据不敏感。这里更好的方法是同时用平均工资 和中位数作为参考指标，选择平均工资较高且 中位数较大的公司就业.三 、三种数字特征的优缺点1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它 对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体 特征。2、中位数是样本数据所占频率的等分线， 它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下 是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺 点。3、平均数与每一个样本的数据有关，与众数 、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关 于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极 端值的影响较大，使平
10、均数在估计时可靠性降低 。 思考讨论以下问题：3、“用数据说话”，这是我们经常听到的一句话 。但是，数据有时也会被利用，从而产生误导。 例如，一个企业中，绝大多数人是一线工人，他 们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层 次的人，年收入过到几十万元。这时年收入的平 均数比中位数大得多。尽管这时的中位数比平均 数更合理些，但是这个企业的老板到人力市场去 招聘工人时，也许更可能用平均数来回答有关工 次待遇的指问。你认为“我们单位的收入水平比别的单位高” 这句话应当怎么解释？答:我认为这句话是这样解释的：这个企 业的老板以员工平均工资收入水平去描述 他们单位的收入情况。我觉得这是不合理 的，因为这
11、些员工当中，少数经理层次的 收入与大多数一般员工收入的差别比较大 ，所以平均数不能反映该单位员工的收入 水平。这个老板的话有误导与蒙骗行为。课后练习假设你是一名交通部门的工作人员，你 打算向市长报告国家对本市26个公路项目 投资的平均资金数额，其中一条新公路的 建设投资为2000万元人民币，另外25个项 目的投资是20100万元。中位数是25万元 ，平均数是100万元，众数是20万元。你 会选择哪一种数据特征来表示国家对每一 个项目投资的平均金额？你选择这种数字 特征的缺点是什么？答：这里应该采用平均数来表示每一个国 家项目的平均金额，因为这能反映所有项 目的信息。但平均数会受到极端数据2000 万元的影响，所以大多数项目投资金额都 和平均数相差比较大。四.小结1.学习利用频率直方图估计总体的众数 、 中位数和平均数的方法。2.介绍众数、中位数和平均数这三个特征 数的优点和缺点。3.学习如何利用众数、中位数和平均数的 特征去分析解决实际问题。作业v1.(同步)P45(10),P51 (6)(8)(周一交，检查至 P51)v2.高中数学必修课程综合测评P12 17(B)卷.
