学好微积分几点建议

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1、清华大学 谭 泽 光的 几 点 建 议学好微积分1912, 04, 101本讲内容一、了 解 微 积 分二、喜 欢 微 积 分三、掌 握 微 积 分2微积分的基本内容研究函数的性质与表示函数函数的表示函数的性质非初等函数初等函数非初等性质初等性质函数的运算一、了解微积分3一、了解微积分(1) 研究工具: 研究连续模型的数学工具(2) 思维“钙质”: 培育理性思的重要戴体(3) 美育途径: 四大美育内容之一4二、喜欢微积分一个有趣的例子： 有T和F两个相邻国家，T国的国民总说真话，而F国的国 民总说假话. 今有第三国的一位记者到了这两个国家之一，但不 知身处哪国？能否通过询问该国一位国民而判断出

2、他在T国还是 F国? 定义两个命题函数：说真话函数: 说假话函数:复合函数: 5十六字建议重视概念 精做习题多思勤问 总结提 高三、掌握微积分61. 重视概念: 从正面掌握：背景、定义、性质、运算、应用;从反面深入：反例 .三、掌握微积分7例1 设f (x) 连续，且在0点的导数大于零, 则存在 0 使得 ( ). (A) f (x)在(0, )内单调增加 (B) f (x)在(- , 0)内单调减少 (C) 对任意x (0, ) , f (x) f (0)(D) 对任意x (- , 0) , f (x) f (0)三、掌握微积分8存在0, 使得对任意x (-, ) , f (x) f (0)

3、(C) 对任意x (0, ) , f (x) f (0)三、掌握微积分9点的局部性质与区间整体性质的差别三、掌握微积分10点的局部性质与区间整体性质的差别三、掌握微积分11例2 设f (x)二阶可导，0点是其极小点,且在0点任何 邻域中都不为常数，则存在 0 使得 ( ). (A) f (x)在(0, )内单调增加(B) f (x)在(- , ) 内是下凸的 (C) 对任意x (-, ) , f (x) f (0)(D) 在0点f (x)的二阶导数为非负 三、掌握微积分12转化成研究函数的性质问题例如， 求证不等式 (1) f (x)在(a, b)连续无零点 (2) f (x)在(a , b)

4、增量分析 (4) 利用二阶导数，判断凸性(3) f (x)在a , b最值问题 三、掌握微积分13反例，有助于对概念深入理解如: 说明连续性是函数局部性的例子:迪里希莱函数的多种变形又如: 说明导函数性质的例子三、掌握微积分14三、掌握微积分2. 精做习题: 一定数量，独立做题，自检有底抓住三点：考点、难点、着手点尽量引伸：多解、特例 、条件和结论的变化15求极限、无穷小比阶、求阶是微积分中基本方法. 例 （ C ）解三、掌握微积分16解法至少有三 . 例2 是等价无穷小，则（ A ）当时，与三、掌握微积分17例3 求极限【解1】【解2】令原式原式三、掌握微积分18三、掌握微积分3. 多思勤问

5、: 打破沙锅问到底不达目标不罢休19三、掌握微积分4. 总结提高: 绘知识树一 一元函数二 极限四 导数五 微分八 定积分十 级数六 原函数七 不定积分九 广义积分三 连续20三、掌握微积分概括提升: 例如对 “微分学的应用” 的总结 中心：利用函数增量来研究函数的性态:二率(斜率与曲率); 三点(零点、驻点与拐点)， 一趋势(渐进线) 六方面的应用: 关键是把问题化成研究函数的某种性态。1, 函数的性态研究与函数图形 : 2, 不等式证明 ;3, 不定型求极限和无穷小阶的分析:4, 方程根的研究: 注意函数零点与导数零点之间的关系。5, 函数的近似与值的估计:Lagrange 公式和Taylor公式的灵活运用: 取点和确定阶数;6, 极值问题:确定三个“什么？”: 什么函数？在什么区间？求什么极值(极大或极大) ？21谢 谢22汇报完毕！O(_)O谢谢聆听！2324