协整与误差修正模型

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1、9.3 协整与误差修正模型一、长期均衡关系与协整二、协整检验三、误差修正模型一、长期均衡关系与协整0、问题的提出 经典回归模型（classical regression model）是建立在稳定 数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典回归模 型，否则会出现虚假回归等诸多问题。 由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方 法带来了很大限制。 但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是 协整的（cointegration)，则是可以使用经典回归模型方法建 立回归模型的。 例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中：因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能，其

2、原因在于，从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均 消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系，即它们之间 是协整的（cointegration）。经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期 均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏 均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离 其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以 使其重新回到均衡状态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述1、长期均衡式中:t是随机扰动项。该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的 均衡值也随之确定为0+1X。 在t-1期末，存在下述三种情形之一： （1）Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt ；（2）Y小

3、于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt ；在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在 时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应 变化量由式给出:式中，vt=t-t-1。 实际情况往往并非如此 如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其 均衡值，则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化Yt 大一些；反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小 于第一种情形下的Yt 。可见，如果Yt=0+1Xt+t正确地提示了X与Y间的长 期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从 本质上说是“临时性”的。因此，一个重要的假设就是:随机扰动项t必须是平 稳序列。显然，如果t

4、有随机性趋势（上升或下降），则会导 致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被 消除。式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡误差（disequilibrium error），它是变量X与Y的一个线性组合： (* )因此，如果Yt=0+1Xt+t式所示的X与Y间的长期均 衡关系正确的话，（*）式表述的非均衡误差应是一平稳时 间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。从这里已看到，非稳定的时间序列，它们的线性组合也可 能成为平稳的。例如：假设Yt=0+1Xt+t式中的X与Y是I(1)序列，如果 该式所表述的它们间的长期均衡关系成立的话，则意味着由 非均衡误差（*）

5、式给出的线性组合是I(0)序列。这时我们称 变量X与Y是协整的（cointegrated）。如果序列X1t,X2t,Xkt都是d阶单整，存在向量 =(1,2,k)，使得 Zt= XT I(d-b)其中，b0，X=(X1t,X2t,Xkt)T，则认为序列X1t,X2t,Xkt 是(d,b)阶协整，记为XtCI(d,b)，为协整向量（cointegrated vector）。协整在中国居民人均消费与人均GDP的例中，该两序列都是2阶 单整序列，而且可以证明它们有一个线性组合构成的新序列为0 阶单整序列，于是认为该两序列是(2,2)阶协整。由此可见:如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整 阶数相

6、同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不 可能协整。 三个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可 能经过线性组合构成低阶单整变量。例如，如果存在：并且那么认为 ： （d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义 在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但 是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长 期稳定的比例关系。例如：前面提到的中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶 单整，并且将会看到，它们是(2,2)阶协整，说明它们之间 存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意 义上讲，建立如下居民人均消费函数模型从协整的定义可以看出:变量选择是合理的，

7、随机误差项一定是“白噪声”（即均 值为0，方差不变的稳定随机序列），模型参数有合理的经 济解释。这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的，但却可以用 经典的回归分析方法建立回归模型的原因。 从这里，我们已经初步认识到：检验变 量之间的协整关系，在建立计量经济学模 型中是非常重要的。而且，从变量之间是否具有协整关系 出发选择模型的变量，其数据基础是牢固 的，其统计性质是优良的。二、协整检验1、两变量的Engle-Granger检验为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，Engle和Granger于 1987年提出两步检验法，也称为EG检验。第一步，用OLS方法估计方程 Yt=0+1Xt+t并计算非均衡误

8、差，得到： 称为协整回归(cointegrating)或静态回归(static regression) 。 的单整性的检验方法仍然是DF检验或者ADF检验。由于协整回归中已含有截距项，则检验模型中无需 再用截距项。如使用模型1进行检验时，拒绝零假设H0：=0，意味着误差项et是 平稳序列，从而说明X与Y间是协整的。需要注意是，这里的DF或ADF检验是针对协整回 归计算出的误差项 而非真正的非均衡误差t进行的 。 而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量 是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际 情形大。于是对et平稳性检验的DF与ADF临界值应该比正常 的DF与ADF临界值还要小。

9、 MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检 验的临界值，表9.3.1是双变量情形下不同样本容 量的临界值。 例9.3.1 检验中国居民人均消费水平CPC与人均国内生 产总值GDPPC的协整关系。在前文已知CPC与GDPPC都是I(2)序列，而2.10中已 给出了它们的回归式 R2=0.9981 通过对该式计算的残差序列作ADF检验，得适当检验 模型 （-4.47） (3.93) (3.05) LM(1)=0.00 LM(2)=0.00 t=-4.47-3.75=ADF0.05，拒绝存在单位根的假设，残差项 是稳定的，因此中国居民人均消费水平与人均GDP是(2,2) 阶协整的，说明

10、了该两变量间存在长期稳定的“均衡”关 系。 2、多变量协整关系的检验扩展的E-G检验多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在 于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期 均衡关系：(*)其中，非均衡误差项t应是I(0)序列： (* ) 然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系：则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它 们的任意线性组合也是稳定的。例如(*)由于vt象（*）式中的t一样，也是Z、X、Y、W 四个变量的线性组合，由此（*）式也成为该四变量的 另一稳定线性组合。（1, -0,-1,-2,-3）是对应于（

11、*）式的协整 向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是对应于（*）式的协 整向量。 一定是I(0)序列。对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同， 即需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否存在稳定的线 性组合。在检验是否存在稳定的线性组合时，需通过设置一个变 量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行OLS估计并检 验残差序列是否平稳。如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的OLS估计 及相应的残差项检验。当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不能得 到平稳的残差项序列，则认为这些变量间不存在（d,d）阶 协整。检验程序：同样地，检验残差项是否平稳的DF与ADF检验临界值 要比通常的

12、DF与ADF检验临界值小，而且该临界值还受 到所检验的变量个数的影响。表9.3.2给出了MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不 同变量协整检验的临界值。2、多变量协整关系的检验JJ检验 Johansen于1988年，以及与Juselius于1990年提出 了一种用极大或然法进行检验的方法，通常称为JJ 检验。 高等计量经济学（清华大学出版社，2000年9 月）P279-282. E-views中有JJ检验的功能。三、误差修正模型前文已经提到，对于非稳定时间序列，可通过差分的方 法将其化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析模型。如：建立人均消费水平（Y）与人均可支配收入（X） 之间

13、的回归模型：1、误差修正模型式中， vt= t- t-1差分X,Y 成为 平稳 序列建立差分回归模型 如果Y与X 具有共同的 向上或向下 的变化趋势(1)如果X与Y间存在着长期稳定的均衡关系Yt=0+1Xt+t 且误差项t不存在序列相关，则差分式Yt=1Xt+t 中的t是一个一阶移动平均时间序列，因而是序列相关的； 然而，这种做法会引起两个问题：(2)如果采用差分形式进行估计，则关于变量水平值的重要 信息将被忽略，这时模型只表达了X与Y间的短期关系，而没 有揭示它们间的长期关系。因为，从长期均衡的观点看，Y在第t期的变化不仅取决于 X本身的变化，还取决于X与Y在t-1期末的状态，尤其是X与Y

14、在t-1期的不平衡程度。另外，使用差分变量也往往会得出不能令人满意回归方程。例如，使用Yt=1Xt+t回归时，很少出现截距项显著为零的情况，即我们常常会得到如下形式的方程： 在X保持不变时，如果模型存在静态均衡（static equilibrium），Y也会保持它的长期均衡值不变。但如果使用（*）式，即使X保持不变，Y也会处于长期 上升或下降的过程中(Why?)，这意味着X与Y间不存在静态 均衡。这与大多数具有静态均衡的经济理论假说不相符。可见，简单差分不一定能解决非平稳时间序列所遇到的 全部问题，因此，误差修正模型便应运而生。(*)误差修正模型（Error Correction Model，

15、简记为ECM ）是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是 由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，称为 DHSY模型。为了便于理解，我们通过一个具体的模型来介绍它的结构 。假设两变量X与Y的长期均衡关系为:Yt=0+1Xt+t由于现实经济中X与Y很少处在均衡点上，因此实际观测到的 只是X与Y间的短期的或非均衡的关系，假设具有如下(1,1)阶 分布滞后形式该模型显示出第t期的Y值，不仅与X的变化有关，而且与t -1期X与Y的状态值有关。 由于变量可能是非平稳的，因此不能直接运用OLS法。 对上述分布滞后模型适当变形得 或 式中 ， （*）如果将（*）中的

16、参数，与Yt=0+1Xt+t中的相应参 数视为相等，则（*）式中括号内的项就是t-1期的非均衡 误差项。（*）式表明：Y的变化决定于X的变化以及前一时期的 非均衡程度。同时，（*）式也弥补了简单差分模型 Yt=1Xt+t的不足，因为该式含有用X、Y水平值表示的 前期非均衡程度。因此，Y的值已对前期的非均衡程度作出 了修正。 称为一阶误差修正模型(first-order error correction model) 。 （*）式可以写成： （*）知，一般情况下|1 ，由关系式=1-得01。可以据 此分析ecm的修正作用：（* ）其中:ecm表示误差修正项。由分布滞后模型(1)若(t-1)时刻Y大于其长期均衡解0+1X，ecm为正，则 (-