控制系统稳定性和能控能观分析

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1、自动控制原理课题 控制系统稳定性和能控能观分析 一、课题名称与课题要求1、系统能控性、能观性分析： 1.1 已知连续系统的传递函数模型：当a分别取1，0，1时，判别系统的能控 性和能观测性。 2、稳定性分析2.1 已知闭环系统的传递函数为：判断系统的稳定性，并给出不稳定极点。 2.2已知离散系统的开环脉冲传递函数为 ：判断单位负反馈系统的稳定性。2.3 给定系统的 状态方程如下: (1) 利用MATLAB建立控制系统的数学模型； (2) 分析系统的可控性和可观性； (3) 计算系统的传递函数； (4) 根据传递函数，计算系统的零极点，并判断系 统的稳定性； (5) 利用LTI Viewer 工

2、具绘制系统的阶跃响应曲线 ，验证系统的稳定性。二、现代控制理论的可控性和可观 性1.线性系统状态空间基础 1.1 状态空间基本概念 1.状态任何一个系统在特定时刻都有一个特定的 状态，系统在t0时刻的状态是t0时刻的一种信 息量，它与此后的输入一起惟一地确定系统 在tt0时的行为。 2.状态变 量状态变 量是一个完全表征系统时间 域行为的 最小内部变量组。3.状态向量设系统有n个状态变量，用x1(t),x2(t),xn(t)表示， 而且把这些状态变量看做向量x(t)的分量，则向量x(t) 称为状态向量，记为x(t)=x1(t),x2(t),.,xn(t) 4.状态空间以状态变量x1(t),x2

3、(t),.,xn(t)为轴的n维实向量空 间称为状态空间。 5.状态方程描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微 分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散 时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内 部状态的变换过程，其一般形式为：其中，t是时间变量，u(t)是输入变量。 6.输出方程描述系统输出量与系统状态变量和输入 变量之间函数关系的代数方程称为输出方程 ，它表征了系统内部状态变化和输入所引起 的系统输出变换，是一个变化过程。输出方 程的一般形式为：y(t)=gx(t),u(t),t7.状态空间表达式 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式， 也称动态方程，它表征一个系统完

4、整的动态过程， 其一般形式为：将其写成向量矩阵形式为：其中，x=x1,x2, . ,xn表示n维状态 向量；y=y1,y2, . ,ym表示m维输出向 量；u=u1,u2, . ,ur表示r维输入向量 ；A表示系统内部状态的系数矩阵，称为 系数矩阵Ann;B表示输入对状态作用的 矩阵，称为输入（或控制）矩阵Bnr;C表 示输出与状态关系的矩阵，称为输出矩 阵Cmn;D表示输入直接对输出作用的矩 阵，称为直接转移矩阵Dmr,也称前馈系 数矩阵。A由系统内部结构及其参数决定， 体现了系统内部的特性，而B则主要体现 了系统输入的施加情况，通常情况下 D=0。状态空间描述具有以下特点：（1）状态空间描

5、述考虑到了“输入-状态-输出”这一 过程，考虑到了被经典控制理论的“输入-输出”描述 所忽略的状态，因此它揭示了问题的本质，即输入引 起了状态的变化，而状态决定了输出。（2）输入引起的状态变化是一个运动过程，数学 上表现为向量微分方程，即状态方程。状态决定输出 是一个变换过程，数学上表现为变换方程，即代数方 程。（3）系统的状态变量个数等于系统的阶数，一个 n阶系统的状态变量个数为n。（4）对于给定系统，状态变量的选择不唯一，状 态变量的线性变换结果也可以作为状态变量。（5）一般来说，状态变量不一定是物理上可测量 或可观察的量，但从便于构造控制系统来说，把状态 变量选为可测量或可观测的量更合适

6、。2.线性系统的状态可控性与状态可观性在现代控制理论中，可控性和可观性是两个重 要的概念，它们是卡尔曼在1960年提出的，是最 优控制和最优估计的设计基础。可观性针对的是系统状态空间模型中状态的可 观测性，它表示系统内部状态（通常是不可以直 接测量的）可由系统输出量Y（t）（通常是可以直 接测量的）反映的能力。严格地说，可控性分为两种，一种是系统控制 输入U（t）对系统内部状态X(t)的控制能力，另一 种是控制输入U(t)对系统输出Y(t)的控制能力。但 一般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。系统的可控性和可观性研究一般都基于系统 的状态空间表达式。2.1 可控的判据单输入n阶离散系统可控

7、的充分必要条件是：可 控判别阵M=h Gh . Gn-1hnn的秩等于n，即rank(M)=rankh Gh . Gn-1h=nn阶连续系统可控的充分必要条件为可控判别阵 M=b Ab . An-1b nn的秩等于n。对于多输入n阶连续定常系统： 。其中 ，A为nn阶阵，B为nr阶阵，U为r维输入。系统 可控的充分必要条件为可控判别阵M=B AB . An- 1B nn的秩等于n，即rank(M)=n。秩判据说明连续系统状态能控性只与状态方程 中的A、B矩阵有关。2.2 可观的判据对于离散系统，其完全可观的充分必 要条件为可观判别阵N=C CG . CGn-1的 秩等于n，即rank(N)=n

8、。线性连续系统完全可观的充分必要条 件是可观判别阵N=C CA . CAn-1的秩为n 。该秩判据说明连续系统状态能观测性 只与状态方程中的A、C矩阵有关。三、离散控制系统3.1 离散控制系统概述数字、离散控制系统与连续控制系统的根本区别在于：（1）离散控制系统中既可以包含连续信号，又可以包含 离散信号，是一个混合信号系统。（2）连续系统中的控制信号、反馈信号以及偏差信号都 是连续型的时间函数，而在离散系统中则不然。一般情 况下，其控制信号是离散型的时间函数，因此取自系统 输出端的负反馈信号在和离散控制信号进行比较时，同 样需要采用离散型的时间函数，那么比较后得到的偏差 信号也将是离散型的时间

9、函数。（3）分析和设计数字、离散控制系统的数学工具是Z变换 ，采用的数学模型是差分方程、脉冲传递函数。3.2 离散控制系统稳定性判据离散控制系统闭环稳定的充分条件是：闭环 脉冲传递函数的全部极点均位于单位圆内。因 此判断离散控制系统稳定性的最直接的方法是 计算闭环特征方程的根，然后根据根的位置来 确定系统的绝对稳定性。劳斯判据是判断连续系统是否稳定的一种简 单的代数判据。由于连续系统和离散系统的稳 定区不同，所以在离散控制系统中不能直接应 用劳斯判据，必须进行变换。基于双线性变换 和劳斯判据的方法能用来判断离散控制系统的 稳定性。该方法是将离散控制系统用双线性变换将Z 平面单位圆内的点映射到W

10、平面的左半平面，然 后用劳斯判据判别系统的稳定性。四、程序框图4.1 matlab中显示的菜单4.2 matlab中的程序的运行结果 4.2.1 第一题运行的结果 当a=-1时的可控阵和可观阵：a=0时的可控阵和可观阵：a=1时的可控阵和可观阵：4.2.2 第二题的运行结果系统的零极点及增益如下所示：第二题的零极图与根轨迹如下所示：第二题系统的阶跃响应和脉冲响应第二题的系统的零极点模型为：（1）比例微分环节： jw+1 0/2 （2）比例微分环节：（jw)/0.5666+1 0/2 （3）二阶微分环节：（jw)2/1.177-0.8999/1.177jw+1 0 （4）惯性环节： 1/(jw/

11、1.607+1) 0-/2 （5）振荡环节：1/(jw)2/0.3288+0.8806/0.3288jw+1)0- （6）振荡环节：1/(jw)2/0.631-0.8207/0.631jw+1) 0-所以，总的（w）=0- /2第二题的bode图nyquist图线性时不变工具箱对第二题仿真的验证 ：4.2.3 第三题的运行结果 离散系统单位负反馈的零极图和根轨迹：第三题离散系统的阶跃响应和脉冲 响应第三题离散系统单位负反馈的bode 图和nyquist图LTI Viewer对第三题离散系统单位负 反馈的仿真验证：4.2.4 第四题的运行结果 （1）数学模型（2）可控性和可观性（3）传递函数（4

12、）系统的零极点（5）利用LTI Viewer工具绘制阶跃响应曲线 ：五、小节通过本次课题实践，我对于在matlab 中操作矩阵又有了一些全新的认识。对如 何画根轨迹、bode图和nyquist图又有了 些新的体会。实现了可控可观的秩判据， 还有系统稳定性的研究。对于时域、频域 、复频域和离散域也有了些体会。在控制 理论中，应该将上述几个域综合起来看， 这样更加有利于去理解问题和解决问题。六、心得通过matlab在控制系统中的仿真，我 觉得在研究自控方面，matlab确实是一款 很优秀的软件。它的轨迹我们可以去跟踪 ，这种实时监测对于我们非常的重要。 matlab在经典控制理论、现代控制理论和

13、智能控制理论中都有很大的用处。经典控 制理论是单输入单输出（SISO），而现代 控制理论侧重于多输入多输出（MIMO） 。七、参考文献1 沈传文主编 自动控制理论 西安：西 安 交通大学出版社 2007.1 2 王正林编著 MATLAB/Simulink与控制 系统仿真 北京：电子工业出版社 2008.7 3 张德丰等编著 MATLAB/Simulink建模与仿真实例精讲 北京：机械工业出版社2010.1源程序：在编译源程序之前，请在保存matlab 源程序的路径下建立四个文件夹，它们分 别是：“第一题的txt文档”，“ 第二题的txt 文档和截图”，“ 第三题的txt文档和截图” ，“ 第四

14、题的txt文档和截图”，这四个文件 夹用来保存相应的矩阵、零极点和figure 图形。 源程序如下；clc disp(1.已知连续系统的传递函数模型为： G(s)=s+a/s3+10s2+27s+18,); disp(当a分别取-1，0，1时，判别系统的能控性和能观测性。); disp(2.已知闭环系统的传递函数为：); disp(G(s)=3s4+2s3+s2+4s+2/3s5+5s4+s3+2s2+2s+1); disp(判断系统的稳定性，并给出不稳定极点。); disp(3.已知离散系统的开环脉冲传递函数为，); disp(G(z)=5z5+4z4+z3+0.6z2-3z+0.5/z5)

15、; disp(判断单位负反馈系统的稳定性。); disp(4.给定系统的状态方程如下：); disp(dx/dt=Ax+Bu); disp(y=Cx); disp(其中，A=-2 2 -1;0 -2 0;1 -4 0;B=0;0;1;C=1 0 0;); disp(1) 利用MATLAB建立控制系统的数学模型；); disp(2) 分析系统的可控性和可观性；); disp(3) 计算系统的传递函数；); disp(4) 根据传递函数，计算系统的零极点，并判断系统的稳定性；);disp(5) 利用LTI Viewer工具绘制系统的阶跃响应曲线，验证系统的稳定性。 ); y=1; Y=2; n=3; N=4; x=input(请问您是否要做出选择？y/n ); while x=1|x=2 cho=input(请输入你要运行的题的序号(1、2、3、4) ); %第一题 % %if cho=1 clc disp(已知连续系统的传递函数模型为：s+a/s3+10s2+27s+18,)disp(判别系统的能控性和能观测性。) a=input(请输入变量a的值：) num=1 a; den=1 10 27 18; disp(系统的传递函数为：); G2=tf(num,den) %disp(系统的