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1、三角函数的值域南京市第十三中学 周 德同学们已经知道三角函数ysinx， ycosx， ytanx的值域分别为1，1，1，1， (，). 没有没同学考虑过把这些函数进行加、减、乘、除等运算后得到的新的与三角函数有关的函数的值域是多少？如函数ysinxcosx的值域是多少？ 有些同学这样想，因为1sinx1，1cosx1，相加得2sinxcosx2, 即ysinxcosx的值域为2，2你认为这样得到的结果正确吗？ 如果正确，则y能取到2，也就 是sinx，cosx都取1，这两个值能同 时取到1吗？ 根据sin2xcos2x1知道，显然不 可能其中一个取1，另一个只能 取0，因此y不可能取到2 从
2、而值域一定不是2，2 我们也可以从图像上看，我们先 在同一直角坐标系中画出ysinx，y cosx的图像 xyOysinxycosxysinxcosx我们可以用叠加法作出函数ysinxcosx 的图像，观察其值域不是2，2 题型：求三角函数的值域问题特征：同角正余弦的一次齐次式 例1求函数ysinxcosx的值域例1求函数ysinxcosx的值域分析： 同学们除知道三角函数ysinx，ycosx，ytanx的值域分别为1，1，1，1，(，)外，还知道哪些与三角函数有关的函数值域？ 大家一定不会忘记函数yAsin(x)这类三角函数吧，它的值域是什么呢？ 当A0时，值域是A，A，当A0时，值域是A
3、，A 观察一下，我们要研究的函数ysinxcosx与函数yAsin(x)有什么关系呢？ 很显然，把yAsin(x)用和角公式展开，即可得yasinxbcosx的形式，正好是两个一次的同角三角函数的和 因此，逆用公式即可把ysinxcosx转化为yAsin(x)的形式从而可以求出值域 解： 例1求函数ysinxcosx的值域方法： 解： 题型：求三角函数的值域问题特征：同角正余弦的二次齐次式 例2求函数ysin2x2sinxcosxcos2x的值域 分析： 同学们刚才解决了一次齐次式yasinxbcosx的值域，找一找要求的函数ysin2x2sinxcosxcos2x与已解决的函数yasinxb
4、cosx的联系， 两个都是同角齐次，只是次数不一 样，能否把二次也化为一次呢，如果能 做到这一点，那么问题就可以解决了 能找到化二次为一次的公式吗？ 因为sin22sincos，cos2cos2sin2，它们的特点都左边为一次，右边为二次的，从左到右是升次，从右到左是降次因此，只要逆用这些公式，即可实现化二次 为一次的目的 解： 例2求函数ysin2x2sinxcosxcos2x的值域 方法： 解： 题型：求三角函数的值域问题特征：同角正余弦非齐次式例3求函数y2sinxcos2x的值域 分析： 上面两类问题最终都化为yAsin(x)B的形式，然后再求值域那么函数y2sinxcos2x能化为上
5、面的类型吗？ 解： 例3求函数y2sinxcos2x的值域 方法： 解： 题型：求三角函数的值域问题特征：同角正余弦非齐次式例4求函数ysinx2sinxcosxcosx的值域 分析： 刚才解决了yasin2xbcos2xcsinx或函数y asin2xbcos2xccosx这两种类型函数的值域， 特征是一次只有正弦或余弦中的一个，二次为 正弦或余弦平方.而本题与上面有两处不同，一是一次既有正弦 也有余弦，二是二次是正弦与余弦的积. 由于这两点不同，这就使我们用平方关系进行 化同名不易操作了，而且此式中正弦、余弦的 地位完全相同，也给我们消元带来难处，不知 消那一个，消哪一个都不公平.我们为了
6、避免矛盾，是否可以考虑把正弦、余 弦一起消去？ 根据前面讲的用同角三角函数之间关系进行求值 可知，只要令sinxcosxt，则2sinxcosxt21， 这样函数转化为ytt21为一个关于t的二次函 数，根据t的取值范围可求出y的值域 解： 例4求函数ysinx2sinxcosxcosx的值域 方法： 解： 这一讲我们主要讨论了形如yasin2xbsinxcosxccos2x dsinxecosxf这样形式的三角函数的值域，变形的思想是把函数式化为同名同角的形式，再利用基本三角函数 、一次函数、二次函数的求值域的方法解决问题 yasin2xbsinxcosxccos2x dsinxecosxf 下面三种特殊的类型，大家一定要熟练掌握： 当abc0，或de0时，此时函数分别为 同角正余弦的一次齐次式或二次齐次式，最终化y Asin(x)B的形式求出值域； 当bd0，或be0时，此时函数为同角正余 弦非齐次式，最终化为关于cosx或sinx的二次函数 后再求值域； 当ac，de时，此时函数为同角正余弦非齐次 式，最终化为关于cosxsinx的二次函数后再求值 域 部分类似的高考题
