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1、第六讲 两个重要极限 与无穷小量的比较 内容提要1. 两个重要极限；2. 无穷小量的比较。 教学要求1. 熟练掌握用两个重要极限求极限；2. 熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一 些常见的等价无穷小。一、两个重要极限( x 取弧度单位 )如图所示,作单位圆则圆心角AOB=x ， 显然有AODAOBSSSDDAOB扇形即xxxtansin分别除以 xsin对于情形,有证:x再取倒数 , 得1sincosxxx (1)由于用x-代替x时xcos和xxsin都不变号不等 式(1)仍成立 ,恒 有不等式 1sincosxxx 成立。3由于1coslim 0= x x, 且11lim 0= x,
2、 由夹逼准则可知 , 1sinlim 0= xxx. 证毕从而当时 ,2.对于的情形 ,所以当时 ,对（偶函数），注意：解例2 求xxx3sinlim 0解xxx3sinlim 0解例4 求)0,(sinsinlim 0 babxaxx解解 当n时 , 因此例5, 有例6 解练习解解解解证明略(可用两个准则证明)。例 1 解解法一令tx =- 则当x时 有t 所以例2 求解法二解 令tx=1当0x时有t 所以例3（3）倒数关系注意：解解解练习二、无穷小的比较 由无穷小的性质可知 , 两个无穷小的和、差、积仍为无穷小 ,但两个无穷小的商会出现不同的情况 。如当0x时 , 函数x2 , xsin都
3、是无穷小。但是0=21=而0sinx与02x的 “快”、“慢”差不多。(3) 2sinxx比02x“快些”, 事实上反之“慢些”02x比由此可见 ,无穷小虽然都是以 0 为 极限的变量,但它们趋向 0 的速度不一样 , 趋向 0的 “快”、 “慢”程度, 我们引 入无穷小的“阶”的概念。下面仅给出0xx 时的无穷小比较的定义,对于+0xx ,-0xx ,x ,+x-x等情况的无穷小比较的定义可类似。为了反映无穷小定义 设0)(lim 0= x xxa 0)(lim0= x xxb0)()(lim0= xxxxab（1）如果, 则称)(xb是比)(xa高阶的无穷小 , 记为)()(xoxab=（
4、2）如果= )()(lim0xxxxab,则称)(xb是比)(xa低阶的无穷小。)1, 0(（3）如果)()(lim0= Cxxxxab则称)(xb与)(xa是同阶无穷小。（4）如果1)()(lim0= xxxxab则称)(xb与)(xa为等价无穷小,记为)()(xxab例如 03lim30= xxxQ)0(x)3(3=xox1sinlim 0= xxxQ)0(xsinxx1-x与12-x同阶无穷小) 1(x)0(x可以证明:当0x时 ,有下列等价无穷小： xxsin xxtanxex1- xx)1ln(+22xcos1x-利用等价无穷小可以简化某些极限的运算 , 有下面定理：定理设当0xx
5、时 , )()(xxaa ,)()(xxbb且)()(lim0xxxxab 存在( 或 ) , )()(lim0xxxxab = 则)()(lim0xxxxab证明 因)()(lim0xxxxab)()(lim0xxxxab = (证毕)()( xx aa)()( xx ab )()( xx bb lim0xx= )()(lim0xxxxaa)()(lim0xxxxab )()(lim0xxxxbb = 23lim 0= xxx例1 求2tan3sinlim 0xxx0=0lim30= xxlim30-= xxxx这种解法是错误的！解正确的解法如下.正确的解法如下.cos21lim 0=xxcos2lim320. = xxxxxcos)cos1(sinlim30-= xxxxxsintanlim30-xxxx解注意：无穷小量替换分子或分母，也可替换分用无穷小的等价替换简化极限运算时，可用“-”号连接的各 部分不能分别作替换。等价分母子或的因子，而对分子或分母中“+”，小结一、两个重要极限重要极限一 : 重要极限二 ：（3）倒数关系二、无穷小的比较
