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1、高三三角函数复习南京市第十三中学周 德一.三角函数的主要内容1.三角函数的图象与性质 函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=Asin(x+)的图象、对称性、定 义域、值域、单调性、奇偶性、周 期性、 最值.2.三角恒等变形 同角三角函数基本关系式 、 诱导公式、 两角和与差的三角函数公式 、 二倍角的三角函数公式 。 (1) 主要公式(2) 变形思路发现差异(观察角、函数、运算、 结构的差异). 寻找联系(找出差异的内在联系、联想相关的公式). 合理转化(选择恰当的公式、促使差异的转化). 1.三角函数的有关概念(B) 任意角 正角,负角,零角象限角 终边相同的角的集合 二.考点分
2、析与应用举例弧度制 角度制1弧度角,弧度制弧 度与角度的换算,弧长公式, 扇形面积公式 任意角的三角函数 任意角的正弦、余弦、正切的 定义单位圆,正弦、余弦、 正切的三角函数线三角函数 的符号例1(04辽宁卷1)若cos0 ,且sin20,则角的终边在 第_象限 解:由sin20,得2sincos0又cos0,所以sin0因此角的终边在第四象限四2.同角三角函数的基本关系式(B) sin2x+cos2x=1 例2(07全国卷(理)1)是第四象限角,tan ,则sin _ 解:因为tan ,所以cos sin,又sin2cos21,所以代入得sin2 又因为是第四象限角,所以sin0所以sin
3、例2(07全国卷(理)1)是第四象限角,tan ,则sin _ 3.正弦、余弦的诱导公式(B) k360,180,180, ,360这些角的三角函数等于 角的同名函数,前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号. 90 例3.(07全国文1)cos330 _ 解:cos330cos(36030)cos30 例4(07浙江文2)已知cos( ) ,且| ,则tan_ 解:因为cos( ) ,所以sin 因为| ,所以cos 所以tan 例4(07浙江文2)已知cos( ) ,且| ,则tan_ 4.正弦函数、余弦函数、正切函数 的图象和性质 (B)周期函数,周期,最小正周期图 象,五点法定义域,值
4、域,最值 ,单调性,奇偶性,周期性 例5(06北京文15(1)已知函数f(x) 则f(x)的定义域是_ 解:由cosx0得xk , (kZ),故f(x)的定义域为x|xR且xk , (kZ) 例5(06北京文15(1)已知函数f(x) 则f(x)的定义域是_x|xR且xk , (kZ) 例6(06浙江文12)函数y2sinxcosx1,xR的值域是_ 解:y2sinxcosx1sin2x1, 因为sin2x1,1,所以ysin2x12,0即函数y2sinxcosx1的值域是2,02, 0例7(07江苏5)函数f(x)sinx cosx,x,0 的单调递增区间是_. 解法一:因为f(x)2sin
5、(x ), 由x,0得x , , 所以当 x , 即 x0时,函数单调递增所 以所求函数的单调递增区间是 ,0 解法二:f(x)2sin(x ),由2k x 2k 得2k x2k kZ 与x,0求交集得 x0,从而所求的函数的单调 递增区间是 ,0 例7(07江苏5)函数f(x)sinx cosx,x,0 的单调递增区间是_. ,0例8(06江苏1)已知aR,函数 f(x)=sinx|a|,xR为奇函数,则a _ 解法一:因为f(x)是R上的奇函数,故f(0) 0即00|a|,故|a|0,a0解法二:因为f(x)是R上的奇函数,故对 xR,f(x)f(x),即sin(x)|a| sinx|a|
6、,所以|a|0,a0 0例9(07江西文2)函数y 5tan(2x1)的最小正周期为_ 解:根据函数yAsin(x)的最小正周期为T= 得,函数y5tan(2x1)的最小正周期T 例10(07浙江理2)若函数f(x) 2sin(x),xR(其中0, | )的最小正周期是, f(0) ,则_,_ 解:根据公式T= 得,2又 f(0) ,所以sin , 又| ,故 2例11(07山东理5)函数ysin(2x )cos(2x )的最大值为_解:因为用和角公式展开合并得y cos2x故最大值为115.函数yAsin(x)的图象和性 质 (A)图象,与函数y=sinx的图象关系, 振幅,频率,相位,初相
7、位. 例12.(2006年天津文9)已知函数 f(x)asinxbcosx(a,b为常数, a0,xR)在x 处取得最小值,则函数yf( x)的对称中心坐标 是_ 解:由 (ab) 化简得ab 所以f(x) asin(x ),a0从而f( x) asinx, 其对称中心坐标为(k,0),kZ.例12.(2006年天津文9)已知函数 f(x)asinxbcosx(a,b为常数, a0,xR)在x 处取得最小值,则函数yf( x)的对称中心坐标 是 _ (k,0), kZ. 例13(06江苏4)为了得到函数y 2sin( x ),xR的图像, 只需把函数y2sinx,xR的图像 上所有的点向_平移
8、_个单位长 度,再把所得各点的_坐标_ 到原来的_倍,_坐标不变左 横 纵 3 伸长 例14. (05福建理6)函数f(x) sin(x)(xR,0,0 2的部分图象如图,则 _ yx1O13yx1O13解:根据图 象可得所以0.由f(1)=1得, + , .例14. (05福建理6)函数f(x) sin(x)(xR,0,0 2的部分图象如图,则 _ yx1O130例15. (06陕西理17)已知函数f(x) sin(2x )2sin2(x )(xR) (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求使函数f(x)取最大值的x的集 合 解:f(x) sin(2x ) 1 cos2(x ) sin(
9、2x ) cos(2x ) 1 2 sin(2x ) 1函数f(x)的最小正周期T . 使函数f(x)取最大值的x的集合为 x|x=k ,k Z 6.两角和(差)的正弦、余弦和正 切 (C)S,C,T 7.二倍角的正弦、余弦和正切(B) S2,C2,T2例16. (07四川理17)已知cos ,cos() ,且0 ,(1)求tan2的值(2)求.解:由cos ,且0 ,得sin , tan , tan2 . cos() , 0 ,sin() sin sin () .又0 ,所以 .例17. 已知sin( 3)sin( 3) ,(0, ) ,求( ) sin4的值 1(07江苏卷16)某时钟的秒针 端点A到中心点O的距离为5cm,秒 针均匀地绕点O旋转,当时间t0 时,点A与钟面上标12的点B重合 ,将A,B两点的距离d(cm)表示成 t(s)的函数,则d_, 其中t0,602(06辽宁理11)已知函数f(x)(sinxcosx) |sinxcosx|,则f(x)的值域是_3.(05湖北文15)函数 y|sinx|cosx1的最小正周期与最 大值的和为 4.已知sin( ) ,则sin( 2)_