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1、第五章 Radon-Wigner变换5.1 Radon变换n提出的原因：理想LFM信号的Wigner-Wille分 布为直线型冲激函数，有限长的LFM信号的 Wigner-Wille分布为背鳍状，所以对其时频平 面沿相应直线作积分平滑，是抑制交叉项的一 种理想选择。nRadon-Wigner 变换是对Wigner -Wille分布的 时频平面作直线积分投影的Radon变换，统称 对信号作Radon -Wigner 变换。5.1 Radon变换nRadon变换历史：Radon变换是J. Radon于1917年提 出的。在Fourier变换及它们对应的卷积可以快速计算 之前，Radon变换的计算几
2、乎没有引起人们的兴趣。 现在Radon变换已经成为医学成像和许多遥感成像等 的主要工具而受到广泛重视。n1962年，P. Hough又从图形特征检测的角度提出了 Hough变换。由于以直线图形为特征的Hough变换与 Radon变换相当，所以在有些文献里，也称Radon - Wigner 变换为Hough-Wigner 变换。 5.1 Radon变换nWigner-Wille分布的边缘积分 ：5.1 Radon变换nRadon变换原理：n将原直角坐标选择角得 到新的直角坐标(u,v)， 这时以不同的u值平行于 v轴积分，所得到的结果 即为Radon变换。图5.1.1 Radon变换的几何关系5
3、.1 Radon变换n一般Radon变换：设二维平面(t,)有一任意的二维 函数f(t,)，则其Radon变换可写成n (5.1.3)n利用两平面坐标之间的关系可得到n (5.1.5 )n用表示Radon变换算子，则式(5.1.3)可改写为 n （5.1.6）5.1 Radon变换医学图像重构图5.1.2 倾角为的谱函数5.1 Radon变换n医学图像重构原理：设二维平面(t,)有一任意的 二维函数f(t,)，则其二维Fourier变换可写成n (5.1.7 )n利用两平面坐标之间的关系可得到n上式也可以简写成5.1 Radon变换图5.1.3 Hough变换的映射关系Hough变换:它是一种
4、特征检测方法，它可以将平面里符合某种 特征的图形（这里只讨论直线图形）映射为另一个二维平面上 的一个点。 (t, )平面的直线方程可用参数u（原点垂直距离） 和（倾角）表示:图(b)中的一点(如A点),u和为某常数,因此在图(a)的坐标里 对应为虚直线。将上式整理，可得:5.1 Radon变换对于图(a)中虚直线上的一点，t和是某常数，从上式知图(b)的对应结果为一正弦波。图(b)中的三条正弦曲线对应于图(a)中直线上的1，2，3三个点。可以想象到，当图2(a)中除所示的虚直线外，还存在随机散步的点状噪声时，图(a)中的每一点均在图(b)中对应一条正弦曲线，而虚直线上各点所对应的正弦曲线均穿过
5、A点。若图(a)至图(b)的映射保持原有强度，且在交会点线性相加(相当于积分)，则在该点积累而形成尖峰，同时也存在低噪声。5.2 Radon-Wigner变换 RWT：变换对象由一般的二维函数f(t, )代之以信号z(t)的 Wigner-Wille分布Wz(t, ) ，所得Radon变换即是信号z(t)的 Radon-Wigner 变换(RWT) ，即：5.2 Radon-Wigner变换 当z(t)为一般信号时，由式(5.1.6)求信号z(t)的Radon- Wigner 变换，并以参数(m, 0)表示积分路径，则有上式表明，若z(t)是参数为0和m的LFM信号,则积分值最大； 而当参数偏
6、离0与/或m时,积分值迅速减小,即对一定的LFM信号， 其Radon-Wigner 变换会在对应的参数(m, 0)处呈现尖峰。5.2 Radon-Wigner变换 若将积分路径的直线参数改用t轴的截距t0和相对于轴的斜 率p表述，写成t=t0+p 0的形式,则类似的，z(t)的Radon-Wigner 变换可写为:5.2 Radon-Wigner变换 z(t)的Radon-Wigner变换也可用z(t)的模糊函数Wz(t,) 表示 :5.2 Radon-Wigner变换小结 Radon-Wigner变换通过Wigner-Ville分布和Radon 变换二者的结合，提供了信号处理技术与图象处理技
7、术之间的联系桥梁。例如，它可以将信号检测与参数估计转化为图像（Wigner-Ville分布）中直线的检测问题。5.3 Radon-Wigner变换的计算线性调频(LFM)信号应用十分广泛， LFM信号检测是LFM信号处理的一个主要问题，由检测理论知，白噪声中信号的最佳检测方法是匹配滤波，但LFM信号有两个主要参数起始频率0和调制斜率m,在它们均未知的情况下，无法固定匹配滤波器.LFM信号检测问题是关于起始频率0和调制斜率m 的二维优化搜索问题，“解线调（dechirping）”是LFM信号检测中的一种重要方法，它可完成对LFM信号的估计。5.3.1 连续LFM信号的解线调所谓解线调就是解除LF
8、M信号z(t)的线性调制，若 z(t)是单分量连续线性调频信号，则解线调之后的信号 就是一个单频信号。从参数估计的角度来看，解线调 就是估计LFM信号的起始频率0和调制斜率m两个参数 。解线调可以在时域进行，也可以在频域中进行，它 们分别称为时域解线调和频域解线调。5.3.1.1 连续LFM信号的时域解线调若LFM信号z(t)的m值已知，则用一个解调信号与之 相乘即可. 此时，fm(t)变成了单频信号,其频率为0.5.3.1.1 连续LFM信号的时域解线调实际LFM信号z(t)的m值未知,可以用m为变量，搜索计算fm(t) 的相关函数和功率谱.功率谱图中，峰值点的坐标0和m分别是LFM信号z(
9、t)的起始 频率和调制斜率。将0和m视为需要搜索的变量，对0和m的可 能取值计算fm(t)的功率谱，其峰值坐标给出了单分量LFM信号的 起始频率和调制斜率。 5.3.1.1 连续LFM信号的时域解线调如果z(t)是多分量LFM信号则fm(t)的功率谱在二维(us,s)平面上有p个峰值， 对应的坐标给出p个调频分量的起始频率和调制斜率。5.3.1.1 连续LFM信号的时域解线调如果z(t)是多分量LFM信号则fm(t)的功率谱在二维(us,s)平面上有p个峰值， 对应的坐标给出p个调频分量的起始频率和调制斜率。5.3.1.1 时域解线调5.3.1.1 时域解线调时域解线调与Radon-Wigne
10、r变换的联系5.3.1.1 时域解线调小结 已知m的值,可以直接将信号在时域中解线调 未知起始频率0和调制斜率m, 以m为变量求取解线调信号 fm(t)的功率谱。将0和m视为需要搜索的变量. 当 0时，m - ，时域解线调不能使用。 LFM信号为无限长时，才会在相应参数处表现为冲激函数，信号为有限长时，冲激函数被展开，还会产生旁瓣。 时域解线调的时域支撑区不变，只是沿频率轴拉斜，适用范围为3/4 = /4。 Radon-Wigner变换可以用时域解线调直接计算。5.3.1.2 频域解线调设z(t)的频谱为Z(),将其与频率平方成正比的相位旋转因 子相乘可得：Fourier反变换为：频谱里增添与
11、频率平方成正比的相位，相当于信号增添了与频率成正比的群时延(通常把具有频率特性的器件称为色散延迟线，即延迟与各分量的频率成线性关系)。5.3.1.2 频域解线调 当色散延迟线的输入为具有宽频带的高频脉冲时，由于不同频率分量有与之成正比的不同时延，所以输出是被展宽了的 LFM信号。 相反，若输入为LFM信号，且调频斜率与色散延迟系数具有相同数值和相反符号时，则输出是被压缩了的窄脉冲。相反 ，若输入为LFM信号，且调频斜率与色散延迟系数具有相同数值和相反符号时，则输出是被压缩了的窄脉冲。5.3.1.2 频域解线调频谱GP(),的自相关函数,及它的Fourier反变换，即瞬时功率5.3.1.2 频域
12、解线调频域解线调与Radon-Wigner变换的联系5.3.1.2 频域解线调小结 已知p的值,可以将信号在频域中解线调. 未知起始时间t0和调制斜率p, 以p为变量求取解线 调信号的瞬时功率。将t0和p视为需要搜索的变量. 当 /2时，p +，频域解线调不能使用。 z(t)的Radon-Wigner 变换可用其频域解线调模的平方与尺度因子1/|cos|的乘积计算。 5.3.1.2 频域解线调示例图(a)为未作解线调时wigner- wille平面情况.图(b)为= /8时频域解线调的 情况,原信号矩形支撑区变为菱 形,正斜率信号的时间边缘特性 随之伸展.图(b)为= /4的情况, 菱形信 号
13、支撑区更加下倾,相邻的时间 边缘特性已经相连接.5.3.1.3 时域解线调与频域解线调关系解线调处理相当于将时频平面的矩形支撑区拉斜为菱形，时域法的时域支撑区不变，只是沿频率轴拉斜，频域法的频域支撑区不变，只是沿时间轴拉斜。虽然时域和频域解线调的信号支撑区具有不同的变形，但由于RWT变换是平面的二维积分变换，只要时域解线调所用参数和频域解线调所用参数都与相同的RWT中的参数相对应，则时域和频域两种方法所得结果等价。可以由Parseval公式证明.5.3.1.3 时域解线调与频域解线调关系Parseval公式:进行参数改写得:结合5.3.11和5.3.12有:假设H()值如下:5.3.2 离散L
14、FM信号的解线调方法:求和代替积分表示为瞬时自相关函数的时间求和:定义离散信号f(n)的时变自相关函数为 :5.3.2.1 离散LFM信号时域解线调将5.3.1离散化:上式即为离散LFM信号时域解线调.上式左右进行适当整理得:将5,3,17式中,用fm(n)代替f,进行Fourier变换得:5.3.2.2 离散LFM信号频域解线调将考虑离散形式:上式即为离散LFM信号频域解线调.注:注意避免混叠!上式左右进行适当整理得:频率自相关函数:5.4 离散Randon-Wigner变换的实现时域解线调需要半带宽信号，频域解线调需要半时宽信号。由于Radon变换具有反对称性，所以只需要计算0弧度范围的投
15、影，其他部分可以利用反对称关系计算。计算流程图见P164.图中,离散Radon-Wigner变换实现的两个实际细节是:1)校正 时域解线调和频域解线调暗示的投影半径倾斜;2)选择旋转轴。 如果只是对计算Radon-Wigner平面的统计量(如作为角度函数的 峰值坐标或极大值，均值或方差)感兴趣，那么径向插值就没有必要。5.4 Randon-Wigner变换的性质(1)线性性质:Radon变换是线性的，而WignerVille分布 变换是双线性的.两个变换都有交叉项，即：信号之和的 RadonWigner变换包含了信号项和交叉项。 5.4 Randon-Wigner变换的性质(2)时移和频移特性:WignerVille变换具有移不变性。由于 Radon变换以u和为变量，所以，对任何
