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1、第六章 数学中蕴涵的美学思想第一节 数学美的涵义第二节 数学美的特征退出一、数学家论数学美二、数学美的涵义一、 简单美 二、 对称美三、和谐美四、奇异美第三节 让学生感受数学美 第四节 数学美在中国的源头 一、美观-外在的美二、美好-内在的美三、美妙-快乐的美四、完美- 至善至美一、太极八卦-中国象数学的美二、河图洛书数学形式美的雏形第一节 数学美的涵义一、数学家论数学美古希腊的哲学家、数学家普洛克拉斯 (Proelus)断言：“哪里有数，哪里就有美。”古希腊著名学者毕达哥拉斯(Pythagoras)对数学有 很深的造诣，其中毕氏定理(勾股定理)就是他的杰作 , 他认为“万物最基本的元素是数，
2、数的和谐-这就 是美。”返回庞加莱：“数学家们十分重视他们的方法和理论是 否十分优美，这并非华而不实的作风，那么到底是什么 使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各个部 分之间的和谐、对称、恰到好处的平稳。”克莱因：“数学是人类最高超的智力成就，也是 人类灵魂最独特的创造。音乐能激发或挠慰情怀，绘 画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得 智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一 切。”高 斯：“去寻求一种最美和最简洁的证明，乃 是吸引我研究的主要动力。”返回数学美是数学科学的本质力量的 感性和理性的显现，是一种人的本质力 量通过宜人的数学思维结构的呈现。它 是自然美的客观反映
3、，是科学美的核心 。 二、数学美的涵义返回第二节 数学美的特征一、 简单美 简单是指数学语言、符号、方法、逻辑结构和理论体系的简单 。 1. 符号简单 符号是书写数学语言的文字，大数学家克莱因说：“符号常 常比发明它们的数学家更能推理”, 人们总是探索用简单的符 号去表现复杂的数学内容。例如，微积分学中的常用符号：返回又如，哈密顿微分算子符号向量场函数v = v1i + v2j + v3k, (vi是x,y,z的函数) v = ( )(v1i + v2j + v3k) 返回数量场函数u(x,y,z)时，产生梯度拉普拉斯方程:若用哈密顿算子表示，也十分漂亮、利落:uu = 0返回在线性方程组表示
4、为 AX = B 返回在埃及出土的三千六百年前的莱因特纸草上有下面一串符号用今天的符号表示即：宋、元时期我国也开始了相当于现在“方程论” 的研究， 当时记数使用的是“算筹”，的记号来表示二次三项式412x2x +136 其中x系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹上画斜 线表示“负数”。返回16世纪，数学家卡当、韦达等人对方程符号有了改进，直 到笛卡尔才第一个倡用x, y, z表示未知数。 他曾用xxx9xx +26240 表示方程x39x2 +2624 = 0这个演变过程就是对简单美的追求过程。返回如果要具体写出圆周率或欧拉常数根本不可能，然而用数 学符号却能精确地表示它们。有些数及其
5、运算只有用符号表示，才能更精确、更完美。例如，圆周率是一个常数，1737年欧拉首先倡导用希腊 字母来表示它，且通用全世界； 也是欧拉用e表示特殊的无 理常数欧拉常数返回2. 形式简单 艺术家们追求的美中，形式美是其中特别重要的内容，他们在 渲染美时，常常运用不同形式，如泰山的雄伟，华山的险峻， 黄山的奇特，峨眉的秀丽，青海的幽深，滇池的开阔等。数学家们也十分注重数学的形式美，美国数学家柏克提出了一 个公式审美度=即人们对数学的审美感受程度，与数学表现出的秩序成正比， 与数学表现出的复杂性成反比。 因此，按审美度要求，数学的 表现形式越简单就越美。返回格林公式斯托克斯公式 返回空间解析几何中 椭
6、 球 椭圆抛物面 它们不仅便于记忆，而且具有形式美 。 返回3. 语言简单数学的简单美表现在语言上使人回味无穷 。 如 “负负得正”；“对顶角相等”；“实数集不 可数”；“角、边、角”；“边、角、边” 等 。数列极限 函数极限 导数概念 返回4. 方法简单数学中的许多简单有效的判定定理，形式优美的表达方式 ，并不是原本固有的，而是经过人们长期比较、筛选的结果。 例如，对于正项级数的收敛性判别，达朗贝尔判别法(比值法) 与柯西判别法(根式法)都是十分简单有效的判别法, 然而它们都 有一个共同的不足 ，就是不能判别当极限值时级数的敛散 性，于是人们不断地给出了许多其他形式的判别法。比达朗贝尔判别法
7、更精细的是拉贝(Laber)判别法 设则 当 r1时，级数 收敛 ； 当 r0时, 级数 收敛; 当k0时，级数 发散 。 返回事实上，当时，库麦尔判别法即为拉贝判别法。拉格朗日型余项简单整齐，易于记忆，使用方便。从 审美度而言拉格朗日型余项是最美的，因此受到人们的青睐。然而，人们在应用泰勒公式时，最习惯使用的还是拉格朗 日型余项其中 在x与x0 之间 。 返回又如，泰勒公式的余项，局部性的有皮亚诺(Peano)余项，整 体性的有施诺米尔奇(Schlomilch)罗赫(Roche)余项，柯西余项 和拉格朗日余项等。在整体性余项中，后两种余项仅是前一种余项的特例。因而 ，从整体性考虑，前一种余项
8、更完美。 二、 对称美 对称是指图形或数式的对称，概念、命题、法则或结 构的对偶、对应、对逆等。1. 形式对称 解析几何中的标准图形 返回代数中的二项式定理： 对称行列式: 对称矩阵 ：返回微积分中空间曲线L：x = x(t), y = y(t), z = z(t) 的切线方程 空间曲面S ：F(x, y, z) = 0的法线方程 =导数的运算法则 返回2. 关系对称 运算的对称：加与减、乘与除、乘方与开方、指数与对 数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等；概念的对称：函数与反函数、奇与偶、单增与单减 、连续与间断、收级与发散等； 命题的对称：严格单减 。 返回“共轭”关系对称性： 共轭无理数 共轭矩
9、阵 共轭积分返回“对偶”关系对称性： 集合中的对偶关系 线性规划中的对偶关系 线性规划问题： (* ) 返回对偶规划问题： (* ) 由对偶定理知，若线性规划问题(*)有最优解，则其对 偶规划问题(*)也有最优解, 且两问题的目标函数最优值 相等。反之也成立。返回返回3. 对称美方法的运用 对称美方法是数学中的锐利武器, 数学家们利用它揭示 和发现了很多数学中的奥秘，其中最典型的有麦克斯韦方程 、笛沙格定理和伽罗瓦群等，它被著名数学家狄拉克(Dirac) 称为“自然科学时代新方法的精华”。 下面仅以求积分为例， 来说明它的妙用。(1) 利用积分区间的对称性 利用积分区间关于原点的对称性和被积函
10、数的奇偶性，简 化定积分的计算，是积分运算中最常用的一种方法。若积分区间不关于原点对称，或积分区间虽然关于原点对 称，但被积函数是非奇非偶函数，有时通过适当的换元或拆 项等方法也可转化为对称区间上的积分问题。返回例1 求 ( n为自然数)。令, 则可将积分化为对称区间。 返回(2) 利用函数图象的对称性 借助积分中函数图象的对称性，获得简捷的解题途 径，这是对称美方法的又一妙用。 例2 设C为对称于坐标轴的平面光滑闭曲线，证明易知积分与路径无关。 设D为曲线C围成的平面闭区域, 则由格林公式返回因为积分域D关于x轴对称，又y3 是奇函数，同理，所以(3) 利用轮换对称性 根据研究问题中解析式结
11、构的对称性，由一个结论迅速地得 出相似结论，这不仅能缩减冗长繁琐的计算或证明过程，而且 给人以对称美的享受。例3 计算 椭球的外表面 。 返回作广义极坐标变换 , 则 返回用轮换对称法，即得 于是 返回(4) 挖掘潜在的对称关系 有的问题从表面上看，似乎与对称无关。 但如果仔细分 析，寻找潜在的对称关系，从而将问题转化为对称问题， 就能很快找到突破口, 使问题迎刃而解。例4 计算 若直接 令, 则会导致错误结论。 因为 f(x) = 在0, 上的原函数不是初等函数 ， 所以不能用一般定积分的方法来计算。 返回于是寻找有无对称点, 容易发现 即在区间0, 上横坐标关于 的任意两个对称点x与相应的
12、函数值关于 也对称， 故 返回(5) 构造对称关系 有些数学问题，原来并不具有对称性，在解题过程中，如 果善于根据问题的特点，构造出某种对称关系，便能使问题 很快得到解决。例5 计算其中D为 y = 1, x = 1所围成的区域, f是一连续函数。 积分区域不具有对称性，作曲线, 将D分成D1, D2两部分, 返回于是D1与D2 分别关于y轴和x轴对称 。 又因为是x或y的奇函数, 所以=0从上述解题过程中都放射出对称美思想的光芒，正如德国数学家外尔(Weyl)所说：“美和对称紧密相关”。返回三、和谐美 数学中的和谐美是指数学内容与内容之间、内容与形式之 间、部分与整体之间存在着内在的联系或共
13、同规律，从而形 成本质上的严谨与统一。和谐指事物之间具有匀称、有序、明确的变化规律。1. 严谨是和谐的基础 数学的严谨自然显现出它的和谐。为了追求严谨，消除数学 中的不和谐因素，数学家们一直在努力。数学史上所谓的“数学危机”正是某些数学理论不和谐所致。 返回第一次危机-无理数的诞生。 第二次危机-实数理论得以建立, 导致集合论的诞生。第三次数学危机-“罗素悖论”和其它悖论的产生，为了避 免悖论，策梅洛(Zermelo)在1908年提出了一种公理系统， 后经弗兰克尔(Fraenkel)在1921年加以改进，形成了目前公 认的彼此无矛盾的公理系统，简称ZF公理系统。函数的连续性，是当今数学中的一个
14、重要基本概念，然而它的 现代定义的形成，也经历了一个从不和谐到和谐的漫长过程。18世纪，数学家欧拉认为，由一个单独表达式给出的函数是 连续的，而由几个表达式给出的函数是不连续的。例如, 欧拉 函数返回是不连续的，而由两个分支组成的双曲线(反比例函数)，因为它是由一个表达式 给出的，就认为它是连续的 。 19世纪，傅立叶证明：定义在某个区间上的任意函数可表示 成该区间上的正弦与余弦的无穷级数。 比如，返回可表示为这样一来，上述函数依照欧拉的见解既不是连续的，同时 又是连续的。 1821年，柯西对“连续”概念重新叙述，直至1850年魏尔斯特拉 斯给出“”形式的定义，才使得“连续”这一概念有了新的解
15、释。2. 统一是和谐的标志统一是指数学中内容与内容之间、内容与形式之间、章节 与章节之间客观存在的相互联系。 返回解析几何中, 引入极坐标之后，椭圆、双曲线、抛物线统一 于公式平面上的二次曲线方程由于系数A, B, C, , F不同，其形态万千，但是欧拉 通过坐标变换，将它们化为下面九种标准形状:返回(双曲线) (两虚直线相交) (虚椭圆) (椭圆) 返回(两重合直线) (两平行虚直线) (两平行直线) (抛物线) (两相交直线) 返回在积分学中，不定积分与定积分是两个切然不同的概念， 但在微积分基本公式之中得到和谐统一, 从而极大地推动了微积分的应用与发展。 定积分、重积分、曲线积分和曲面积分，它们表述 的实际意义各不相同，但却都统一于黎曼积分之中。 各类积分之间都有着内在联系 ：返回二重积分 三重积分型曲线积分 型曲面积分 型曲线积分 型曲面积分定积分返回四、奇异美 奇异指数学中的方法、结论或有关发展出乎意料，使人 既惊奇又赞赏与折服。 徐利治先生说：“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美。” 在数学史上曾吸引人们广泛关注的有“蝴蝶定理”。 1815年，数学家奥纳首先解决了这个问题的证明。但由 于它优美的外形及包含的深刻内涵，引起了人们广泛的兴趣 ，100多年来研究者众多，给出了不少初等与高等的证明，其 中被公认为最奇妙的证明是1973年由斯特温等人给出的
