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1、第四章习题 2. 某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次.每次随机地取10件产 品进行检验,如发现其中的次品数多于1,就去调整设备.以X表示一天 中调整设备的次数,试求E(X).(设诸产品是否为次品是相互独立的.)解 设Zi表示第i次检验时所发现的次品数(i=1,2,3,4),则Zib(10, 0.1)PZi=k= 0.1k0.910-k ,k=0,1,2,10.设随机变量Xi=1, 第i次检验时要调整设备(Zi1) 0, 第i次检验时不调整设备(Zi1)(i=1,2,3,4)则 X=X1+ X2+ X3+ X4 , 由于 PXi=0=PZi1=PZi=0+PZi=1=0.910+100.
2、10.99=1.90.99 PXi=1=1-PXi=0=1-1.90.99 Xi服从(0-1)分布,故其数学期望而 E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(X4)=41-1.90.99=1.0556 E(Xi)=PXi=1=1-1.90.99 (i=1,2,3,4)1(1 )5.在下列句子中随机地取一单词,以X表示取到的单词所包含的 字母个数,写出X的分布律并求E(X). “THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT” 解 共有8个单词,随机取到每个单词的概率都是1/8, X 2 3 4 9pk 1/8 5/8 1/8 1/8 设在某一规定的时间间隔里
3、,某电 气设备用于最大负荷的时间X(以分计 )是一个随机变量,其概率密度为 求E(X).解X的分布律为X的取值为2,3,4,9,6.7.设随机变量X的分布律为X -2 0 2pk 0.4 0.3 0.3 求E(X),E(X2),E(3X2+5).解 或 E(3X2+5)= 3E(X2) + 5 = 32.8 + 5 =13.4设随机变量X的概率密度为 求(1)Y=2X;(2)Y=e-2X的数学期望.解8.设(X,Y)的分布律为X1 2 3 Y0 0.1 0.0 0.3 1 0.1 0.1 0.1-1 0.2 0.1 0.0PX=i 0.4 0.2 0.41.0PY=j0.3 0.4 0.3(1
4、)求E(X),E(Y);(2)设Z=Y/X,求E(Z);(3)设Z= (X-Y)2,求E(Z). 解(1)先求出关于X,Y的边缘分布律如右故 E(X)=10.4+20.2+30.4=2E(Y)=-10.3+00.4+10.3=0 (2)先求出Z=Y/X的分布律如下Z pk-10.2-1/20.1-1/30.000.41/30.11/20.110.1故(3)先求出Z=(X-Y)2的分布律如下Z pk220.2320.1420.0120.1220.0320.3020.1120.1220.1整理得Zpk00.110.240.390.4故 E(Z)=00.1+10.2+40.3+90.4=59.设(X
5、,Y)的概率密度为求 E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2).xoy11y=x解 如图,阴影部份是f(x,y)不为零的区域也可以先求边缘概率密度11. 一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布, 概率密度为工厂规定,出售的设备若在售出一年 之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备 厂方需化费300元. 试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望. 解 设Y(元)表示厂方出售一台设备的净赢利, 则 Y只能取两个值: Y=100 和 Y=100-300= -200 . 而 Y=100 时,设备的寿命必须在一年以上,即 X1故 PY=100=PX1而 PY= -
6、200=1-PY=100 或 =PX0是常数,求E(X),D(X).解 法一:利用令t=x/,则法二:利用函数的定义及性质令 t=x2/22 ,则19.设随机变量X服从分布,其概率密度为其中0,0是常数,求 E(X),D(X).解令 t=x/, 则 x=t, dx=dt ,D(X)=E(X2)-E(X)2=(+1)2-22= 2讨论:(1)当=1时,得到参数为的指数分布,E(X)=,D(X)=2 .(2)当=n/2,=2时,得到自由度为n的2分布,E(X)=n,D(X)=2n .19.设随机变量X服从几何分布,其分布律为 PX=k=p(1-p)k-1 ,k=1,2,其中0Y=PX-Y0=PZ2
7、0=1-PZ20PX+Y1400=1-PX+Y1400设随机变量 X,Y相互独立,且 XN(720, 302), YN(640, 252) , 求Z1=2X+Y, Z2=X-Y的分布,并求概率PXY,PX+Y1400.解 E(X)=720, D(X)=302, E(Y)=640, D(Y)=252 . E(Z1)=E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=2720+640=2080D(Z1)=D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=4900+625=4225=652故 Z1N(2080,652)22.(2)28.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为试验证X和Y是不相关的, 但X和Y不是相互独立的.
8、解 先求边缘概率密度 ,xy1-1同理显然,在单位圆内,即 时 , 因此X和Y不是相互独立的.同理Cov(X,Y)=E(XY)- E(X)E(Y)=0,因此X和Y是不相关的.29. 设随机变量 X,Y的分布律为X-1 0 1 Y0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8-1 1/8 1/8 1/8PX=i 3/8 2/8 3/81.0PY=j3/8 2/8 3/8验证X和Y是不相关的, 但X和Y不是相 互独立的.解 先求出关于X,Y的边缘分布律如右显然,对每一组(i,j) (i,j= -1,0,1), 都有 PX=i,Y=j PX=iPY=j ,因此X和Y不是相互独立的.Cov(X,Y
9、)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,因此X和Y是不相关的.30.设A和B是试验E的两个事件,且P(A)0,P(B)0并定义随机变量X,Y如右X=1, 若A发生 0, 若A不发生Y=1, 若B发生 0, 若B不发生 证明,若XY=0,则X和Y必定相互独立. 证 PX=1=P(A), 故PX=0=1-P(A), PY=1=P(B), 故PY=0=1- P(B),由此得X,Y的边缘分布并设其联合分布如右X0 1 Y0 a11 a12 1 a21 a22PX=i 1-P(A) P(A)1.0PY=j1-P(B) P(B)由表中得 a11+a21=1-P(A) a12+a22=P(A) a11+a12
10、=1- P(B) a21+a22=P(B) 显然 E(X)=P(A),E(Y)=P(B),而 E(XY)=00a11+10a12+01a21+11a22=a22 由于XY=0,故Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, 从而有 a22=E(XY)=E(X)E(Y)=P(A)P(B) 代入得 a12=P(A)-a22=P(A)-P(A)P(B)=P(A)1-P(B) 代入 a21=P(B)-a22=P(B)-P(A)P(B)=1-P(A) P(B) 代入a11=1-P(B)-a12=1-P(B)P(A)1-P(B)=1-P(A)1- P(B) 由此可见完全满足PX=i,Y=j=PX=
11、iPY=j(i,j=0,1), X和Y相互独立31.设随机变量(X,Y)具有概率密度 求E(X),E(Y),Cov(X,Y). 解 如图,阴影部份是f(x,y)不为零的区域GxyGx=yx=-y11-10Cov(X,Y)=E(XY)- E(X)E(Y)=0.法一:法二:先求出边缘概率密度 (利用p86.14的结果)Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)32.设随机变量(X,Y)具有概率密度求E(X),E(Y),Cov(X,Y), XY,D(X+Y).解同理 E(Y)=7/6,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=同理 E(Y2)=5/3,同理D(Y)=11/36,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=20/36=5/9,
