《03 第三节 二维随机变量函数的分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《03 第三节 二维随机变量函数的分布（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 二维随机变量函数的分布在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全国年龄在 40 岁以上的人群，用 和 分别表示一个人的年龄和体重， 表示这个人的血XYZ压，并且已知 与 ， 的函数关系式Z,)(g现希望通过 的分布来确定 的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函),(YXZ数的分布问题.在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系:(i) ;Z(ii) 和 ，其中 与 相互独立. ,maxYX,inYXZY注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到 个随机变量函数的分布问n题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.分布图示 引
2、言 和的分布 例 1 正态随机变量的线性组合 例 2 例 3 例 4 最大、最小分布 例 5 例 6 内容小结 课堂练习 习题 3-3 内容要点一、 的分布YXZ二、 及 的分布),max(M),in(YXN设随机变量 相互独立,其分布函数分别为 和 , 由于 不大)(xFX)(yY ),max(YXM于 z 等价于 和 都不大于 z, 故有XY );(,)( zzPPF YXM 类似地, 可得 的分布函数),min(N ).(1)(11, zFzzYXzNzz YX例题选讲和的分布例 1 (E01) 设 与 相互独立 , 均服从 分布, 求 的概率密度函数.XY)10(NYXZ解 由卷积公式
3、得 dxzfxzfYXZ)()(ez2)(21dxezz2241即dtzxtz224/ ,214422zz).2,0(NZ正态随机变量的线性组合例 2 (E02) 设某种商品一周的需求量是一个随机变量 , 其概率密度函数为,0)(其 它xexf如果各周的需求量相互独立, 求两周需求量的概率密度函数.解 分别用 和 表示第一、二周的需求量 则XY,0)(其 它xexf ,0)(其 它yeyfY从而两周需求量 利用卷积公式计算.,YXZ当 时, 若 则 若 则 从而0z,x,0xz;0)(xzfY,0)(xfX;0)(zfZ当 时, 若 则 若 即 则,;)(fX,z,zfY故 从而zxzxYX
4、dedxzf0)()() ,63ze.,06)(3其 它zefZ例 3 在一简单电路中, 两电阻 和 串联连接, 设 相互独立, 它们的概率密度1R221R均为,.,005)(其 它xxf求总电阻 的概率密度.21R解 的概率密度为 .)()(dxzfzf易知仅当 即 时上述积分的被积函数不等于零(如图), 由此即得 ,10zxzz10 将 的表达式代入上式得,0201,)()(1其 它zdxzfxzfzR )(xf.,0201,15/)2(6)(3其 它zzzfR例 4 设 相互独立且分别服从参数为 的 分布(分别记成21,X,;21的概率密度分别为211 ,),()(XX ,00,0,1/
5、)(111 其 它xexxfX,)()( 2/122 其 它 yyyfX试证明 服从参数为 的 分布.21X,1证明 由卷积公式, 知当 时, 的概率密度 当 时, 0z21XZ.0)(zfZz的概率密度21ZdxzfxzfX)()(21 )(1)(2/101 xze dxexzz/)(12ze021/221)( 10121/ 221 )()(ttztz记为 ,/21zA其中 再来计算 由概率密度性质, 有,)1()(021221dtt .A0)(dzfZ )/(/12zezx ),(2121即有 于是 亦即.)(2121A ,00,)()( /21221 其 它zezfZ 服从参数为 的 分
6、布, 即XZ,).,(2121X最大、最小分布例 5（E03） 设随机变量 相互独立, 并且有相同的几何分布:21X, ,21,1ikpqPi pq求 的分布.,max21XY解一 ,max21nXPnY ,1221 nXPnXP11nkkpqpq qpq1).(1nqp解二 YPYP ,max,max2121 XPnX, 2121 nXnX 121nkkpqpq22qpqp 22)()(nn ).(nn例 6 设系统 由两个相互独立的子系统 连接而成，连接的方式分别为串联、并L21,L联、备用（当系统 损坏时，系统 开始工作） ，如图所示. 设 的寿命分别为 , 12 21,LYX已知它们的
7、概率密度分别为,0,)(xexfX ,0,)(yeyfY其中 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度.0,. Z解 (1) 串联的情况由于当 中有一个损坏时, 系统 就停止工作, 所以21LL这时 的寿命为，由题设知 的分布函数分别为minYXZYX,0,)(xexF,0,1)(yeyFxY于是 的分布函数为,i )()(1)(minzYX,)(z的概率密度为,iYXZ .0,0minezf z(2) 并联的情况由于当且仅当 都损坏时, 系统 才停止工作, 所以这21LL时 的寿命L.ax于是 的分布函数为,mYZ)()(axzFzX ,0,0),1(zez于是 的概率密度为, .0,)()( )(max zzf zz (3) 备用的情况由于这时系统 损坏时系统 才开始工作, 故整个系统1L2的寿命 是 两者寿命之和, 即 故当 时, 的概率密度LZ21L,YXZ0zYXZ为 dyfzfzfYX)()(ye0)zyde0)( .zze而当 时, 于是 的概率密度为z,(zfZXZ.0,0,)zz课堂练习1. 若 和 独立, 具有共同的概率密度XY,01)(其 它 xxf求 的概率密度.Z
