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1、數學本質概念數學本質概念 立體圖形立體圖形 TKU93A07TKU93A07彭立心彭立心TKU93A08TKU93A08陳文淑陳文淑壹、數學結構l面積和體積的意義的唯一差別在於：一個是二維的；一 個是三維的。l體積代表三維空間的量，含有長、寬、厚、高等在空間 佔有量的大小。l體積表示物體佔空間的大小。 一、體積壹、數學結構二、正方體與長方體 (皆為四角柱體)（一）基本介紹正方體長方體 定義1.是由面、邊、頂點組成。 各面是由大小相同的正方 形組成。 正方體有6個面，每個面 都是大小一樣的正方形。1.是由面、邊、頂點組成。 相對的面是大小、形狀相同 的長方形組成。 長方體有6個面，兩兩對應 的面
2、，相對的面大小形狀都 相同。 視圖透視圖展開圖壹、數學結構（二）正方體與長方體的特性比較特性正方體長方體全等的面 6個全等的面 3對全等的面頂點 8個 8個邊 12個 12個邊長 每一邊皆相等三組(長、寬、高)不邊 長，每一組各四個邊對應平行邊 三組 三組體積 長寬高長寬高壹、數學結構三、柱體與錐體（一）基本介紹柱體錐體 定義1. 我們依照柱體底面的形狀 來稱呼柱體。像底面是三 角形、四邊形、就分別稱 它們為三角柱、四角柱。 兩個上下平行且全等的面 稱為柱體的底面；其他的 面稱為柱體的側面。我們依照底面的形狀來稱呼 錐體。當錐體的底面是三角 形、四邊形、五邊形及六邊 形時，則分別稱它們為三角
3、錐、四角錐、五角錐和六角 錐。點、面和 邊的關係點的個數=底面邊數2 邊的個數=底面邊數3 面的個數=底面邊數+2點的個數=底面邊數+1 邊的個數=底面邊數2 面的個數=底面邊數+1壹、數學結構柱體錐體 分類1.直角柱：有上下為全等的多 邊形的底，且互相平行，其 側面均為長方形。 2.正角柱：與直角柱的唯一差 別在其底面均是正多邊形。 3.斜角柱：有上下為全等的多 邊形的底，且互相平行，各 側面均為平行四邊形。 4.正圓柱；上下為全等的圓形 ，側面與底面為垂直關係。 5.斜圓柱：上下底亦為全等的 圓形，上下底互相平行。1.正角錐：底面為正多邊形， 頂點在過正多邊形中心的垂 線上。自頂點至底面個
4、頂點 連線都等長，其各側面都是 全等的三角形。正角錐可依 底面為正n邊形，稱為正n角 錐。 2.斜角錐：底面則為多邊形， 頂點沒有條件限制 3.正圓錐：底面都是圓形，頂 點必需在底面圓心的垂線上 。 4.斜圓錐：底面都是圓形，頂 點沒有條件限制。壹、數學結構（二）角柱與角錐的特性比較形狀角柱角錐 頂點個數底面邊數底面邊數 邊個數底面邊數底面邊數 面底 面形狀多邊形正多邊形 特點1.兩個底面互相平行且 全等 2.底面和側面互相垂直沒有垂直或平行的面個數個個 側 面形狀長方形等腰三角形 特點底面和側面互相垂直側面上的邊有共同的頂點 個數底面邊數底面邊數 面的總數底面邊數底面邊數壹、數學結構（三）圓
5、柱與圓錐的特性比較形狀圓柱圓錐 頂點 個數個個 邊個數條條 面底 面形狀圓形圓形 特點1.兩個底面互相平行且 全等 2.底面和側面互相垂直沒有垂直或平行的面個數個個 側 面形狀展開後為長方形展開後為扇形 特點曲面曲面 個數個個 面的總數個個壹、數學結構四、球體球面是指一種三維閉曲面，其上每一點到給定點（球心） 的 距離都是相等的。由於球心不易感覺到，因此若是將球體 定 義為球體表面上任一點到球心的距離相等，兒童較難體會 。 如果將球體定義為半圓形以直徑為軸，旋轉一周，並以可 折 疊的低采球為實例，就好得多。並可以指導兒童利用球形 物 體，切開觀察其截面圖，讓兒童發現球形的每一個截面是 圓 形的
6、，且發覺當位置愈中間時，截面會愈大。 壹、數學結構五、平面變柱體（一）意念簡介 透過海綿膨脹使學生能夠製作簡單柱體，辨認各 種柱體的形狀和名稱，以及掌握到柱體的概念。 （二）教具：膨脹海綿、膠盆一個、報紙、抹布。 （三）教學步驟每位同學在膨脹海綿上，繪畫並剪出不同的平面幾何 圖 形。 然後，把平面圖形放在水中脹大，便會變成柱體。因膨脹海綿是上下膨脹，並不會左右膨脹，所 以原來的平面形狀，會變成柱體的頂部和底部形狀。例如：三角形海綿變成柱體後，該柱體的頂部和底部 也是三角形，所以這是一個三角柱體。壹、數學結構貳、認知結構國小階段學生的空間幾何思考模式，一般而言，屬於Van Hiele的是視覺期和
7、描述期。l視覺期的特徵是能依據形體的外觀進行直接的 辨識、比較（比對）、操作；l描述期的特徵是能依據形體外觀的部分特徵及其 間巨象的關連配合經驗進行形體性質的描述、比對、 和分析的活動。這個時期的兒童應透過視覺觀察具體物，進行堆疊、製作 、 描繪的操作性活動，並逐漸豐富視覺經驗而發展出比對與 分 析圖形和形體的組成的起始能力。貳、認知結構叄、學生迷思概念及教師教學策略l低年級以觀察、複製、描繪實物形體或其表面，分辨圖 形的形狀與各部分特徵為主；l中年級乃透過製作探討各種簡單形體的構成要素及其間 關係，以及簡單畫圖工具之運用；l高年級則進一步透過操作與觀察，探討圖形間的關係， 並能做簡單之應用。
8、 叄、學生迷思概念及教師教學策略一、從形成性評量來看學生的迷思概念叄、學生迷思概念及教師教學策略修正前 修正後 請畫出圓錐的展開圖。 在進行立體圖形拼一拼的遊戲中，在圓錐 的關卡中，老師請小朋友從下面圖形中找出能 拼成圓錐展開圖的圖形紙片，請問誰拼對了？ 美美 阿軒 達達 理由是 _ 美美 阿軒 達達 所拿的圖型 拼成的圖型 【題目設計者：92B07蔡宜驊】 學生的迷思概念：對於展開圖的概念缺乏；柱體與錐體分不清。 修正前 修正後有一個房屋模型用1 立方公分的立方體組 成，如下圖，其 體積為 _立方公分 表面積 為_平方公分長山用各邊長皆為1公分的正方體積木做出大樓 的模型，然後在大樓模型的表
9、面貼上色紙。 到底長山用了幾個積木？ 小丸子說是11個，因為1F有4個 / 2F有4個、3F有2個 / 4F有1個，所以共用了11個。 小玉說是12個，因為D棟2個 / C棟3個/B棟3個，A棟比B、C棟多一層所以是4 個，總共12個。 11個 12個 理由是 _ 大樓模型得用掉多少平方公分的色紙？ 18 32 說說看你怎麼算的？ _【題目設計者：91A 40陳芝仙】 學生的迷思概念：無法推想立體圖形看不見的部分，較無空間概念。二、學生學習上的迷思概念vs教學者之對策叄、學生迷思概念及教師教學策略不易掌握之概念 (常見迷思概念)教學者之對策體積運算的迷思 體積、面積、容積等各 個單位換算易混淆
10、：不 了解新學的度量名詞以 及彼此換算的關係。老師在進行教學時最好是拿生活當中的物品作為 教具，如以保特瓶介紹公升、以養樂多瓶介紹毫 公升等等。如此一來學生的學習與生活經驗 結合才能發揮較佳的學習成效。在換算面積、體 積時以簡單的例子說明清楚，輔以圖示具體說明 ，幫助學生了解。 【陳芝先老師受訪，王雅慧訪談】 柱體表面積常會與柱體 體積混淆。釐清學生對體積與表面積的概念，透過實物與圖片，辨認柱體體積與柱體表面積。 解題的技巧為先找到底面積。 加強學生將立體圖形展開為展開圖的概念，學生在觀察展開圖時，可以形成視覺的面的旋轉接合。 了解公式進而熟用。 【蔡明娟老師受訪，高嘉君訪談】不易掌握之概念
11、(常見迷思概念)教學者之對策形體方面的迷思 許多小朋友在面對一些 形狀近似正方體的長方 體，會把它歸類為正方 體。此時吳老師請同學帶來各式各樣的方形紙盒，請 同學量一量正方體與長方體的每一個邊，當同學 發現正方體每一個邊都一樣長時，老師再告訴同 學這就是正方體的條件。所以同學日後面對近似 正方體之長方體時，只要會善用工具測量，便能 清楚地區辨。 【吳淑華老師受訪，林怡伶訪談】 看不懂立體圖型的展開 圖。尤其是題目問：某 一展開圖是否能組成正 方體或長方體時，學生 因為缺乏抽象思考概念 ，遲遲無法理解。儘量先多讓學生剪剪拼拼看，藉由多次實際的 體驗之後，能漸漸跳脫具體物，而去內化成自 己的概念原
12、則。 為避免造成學生挫折感，出題也儘量是以日常生活中所常能看得到的、簡單不複雜的展開圖，逐步建立信心。 【張櫻美老師受訪，黃傳盛訪談】不易掌握之概念 (常見迷思概念)教學者之對策空間方面的迷思對立體圖形沒有空間 感：學生對於立體圖形 的概念較難理解，也不 容易辨認出長、寬、高 因此對於計算體積也常 出現問題。 利用生活中可拿到的紙盒，讓學生們實際觸摸 、操作，而後將盒子展開去看其展開圖，從而 了解盒子是如何從點、線、面而構成立體圖形 的。 利用保利龍球及牙籤做成立體圖形，讓學生可 以清楚看見其透視圖形，以幫助學生建立空間 的概念。 【曾慧芬老師受訪，林珍伶訪談】立體圖形的邊數以及面 數容易只有觀察到看到 的部分。 例如：長方體立體圖形 的平面圖中，學生容易 將長方體數成只有9個 邊、3面。 顧老師拿面紙盒。請學生數數看共有幾個邊、 幾個面。 顧老師在黑板上畫長方體立體圖形的透視圖， 加上虛線（看不到的部分），請學生數數看有 幾邊、幾面。 【顧素珠老師受訪，莊靜詩訪談】End
